中学生でも手が届く京大入試問題（１７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

この３日ほど、朝に小雨、昼から明るくなるという天気が続いていますが、明日は、晴れのち曇りの予報です。そして、気温は２０℃ほどで、暖かく過ごしやすい日になりそうです。

さて、今回は平成２０年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣを考える。辺ＡＢの中点をＭとし、辺ＡＢを延長した直線上に点Ｎを、ＡＮ：ＮＢ＝２：１となるようにとる。このとき∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮとなることを示せ。ただし、点Ｎは辺ＡＢ上にはないものとする。」
です。

まず、問題を図に表しましょう。（図１）

▲図１．問題を図に表しました

さらに図２のように、ＡＢ＝ＡＣ、ＡＭ＝ＢＭから導かれる各線分の比を図１に書き入れましょう。

▲図２．各線分の比を書き入れました

これだけ線分の比が判っていると、相似を利用したくなります。

そこで、△ＡＮＣと△ＡＣＭに着目すると、
ＡＮ：ＡＣ＝ＡＣ：ＡＭ＝２：１
∠Ａは共通
なので、
△ＡＮＣ∽△ＡＣＭ
です。

したがって、
ＣＮ：ＭＣ＝ＣＮ：ＣＭ＝２：１
になります。

続いて、△ＣＭＮに着目すると、
ＣＮ：ＣＭ＝ＮＢ：ＭＢ＝２：１
なので、角の二等分線定理から、
∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮ
が成り立ちます。

ここで、角の二等分線定理というのは、図３のように、△ＯＰＱで、ＯＲが∠Ｏの二等分線のとき、ＰＲ：ＱＲ＝ｐ：ｑになるというもので、この逆も成り立ちます。

▲図３．角の二等分線定理

次に、別の方法を調べてみましょう。

ＢはＡＣの中点なので、ＢからＡＣに平行な補助線は役に立ちそうです。（図４）

▲図４．ＢからＡＣに平行な補助線を引きました

ここで、∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮを示すには、△ＢＣＭと△ＢＣＤが合同であることを示せばＯＫです。

そこで、△ＢＣＭと△ＢＣＤにおいて、
ＢＣは共通　　　　　　　　　　　　　　（１）
です。

　　また、中点連結定理から、
　　ＢＤ＝１/２ＡＣ
　　で、
　　仮定から
　　ＢＭ＝１/２ＡＢ＝１/２ＡＣ
　　なので、
ＢＤ＝ＢＭ　　　　　　　　　　　　　　（２）
です。
　
　　さらに、ＡＣ//ＢＤから錯角は等しいので、
　　∠ＣＢＤ＝∠ＢＣＡ
　　で、
　　二等辺三角形（△ＡＢＣ）の底角は等しいので、
　　∠ＢＣＡ＝∠ＣＢＡ＝∠ＣＢＭ
　　です。

したがって、
∠ＣＢＤ＝∠ＣＢＭ　
です。　　　　　　　　　　　　　　　　（３）

（１）（２）（３）より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＢＣＭ≡△ＢＣＤ
です。

これより、合同な三角形で対応する角は等しいので、
∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮ
が成り立ちます。


他にもいろいろな解き方がありそうです。興味のある人は調べてみてください。