平成２８年度高校入試問題（６）【開成高】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

明日からＧＷは、３日の憲法記念日と４日のみどりの日が曇りや雨模様ですが、その他は好天で、行楽日和の連休になりそうです。

さて、今回は平成２８年度開成高校入試問題です。

問題は、６つの小問からなる大問１の１つで、
「次の連立方程式の解がないとき、定数ａの値を求めよ。
　　　」
です。

まず、代数的に解いてみましょう。

２ｘ＋ａｙ＝ａ　　　　　　　　　　　　 　（１）
（－１＋４ａ－ａ^2）ｘ＋ａｙ＝１　　　 　（２）
として、（１）－（２）から
（３－４ａ＋ａ^2）ｘ＝ａ－１
（ａ－１）（ａ－３）ｘ＝ａ－１　　　　 　（３）
です。

ここで、ａ＝１のとき、（３）はどのようなｘについても成り立つので、不定になります。

一方、ａ≠１のとき、（３）は、
（ａ－３）ｘ＝１　　　　　　　　　　　 　（４）
になり、ここで、ａ＝３のとき、（４）の左辺は０、右辺は１で、（４）は成立せず、不能になります。

さらに、ａ≠３のとき、（４）から、
ｘ＝１/（ａ－３）
で、これを（１）に代入して、
２/（ａ－３）＋ａｙ＝ａ
ａｙ＝ａ－２/（ａ－３）　　　　　　　　 　（５）
になります。

ここで、ａ＝０のとき、（５）の左辺は０、右辺は２/３で、（５）は成立すず、不能になります。

以上から、与えられた連立方程式が解を持たないのは、ａ＝０または３のときで、これが答えです。

続いて、２元１次連立方程式の解が平面上の２つの直線の交点になることを使って解いてみましょう。

（１）（２）もｘｙ平面上の２直線を表しますが、（１）（２）が解を持たないということは、直線（１）、（２）が平行で、かつ一致しないということになります。

一方、直線ｐｘ＋ｑｙ＝ｒとｐ’ｘ＋ｑ’ｙ＝ｒ’が平行で、かつ一致しない条件は、
ｐ/ｐ’＝ｑ/ｑ’≠ｒ/ｒ’
です。

そこで、（１）（２）にこの条件を適用すると、
（－１＋４ａ－ａ^2）/２＝ａ/ａ≠１/ａ　　　　（６）
になります。

ここで、ａ≠０のとき、（６）の等式から
－１＋４ａ－ａ^2＝２
ａ^2－４ａ＋３＝０
（ａ－３）（ａ－１）＝０
ａ＝１、３
です。

ところが、ａ＝１のとき、（６）の非等号（≠）の式が成り立たない（→１＝１になってしまう）ので、直線（１）と（２）は一致します。

したがって、直線（１）と（２）が平行になるのはａ＝３のときで、２つの直線は、図１のようになります。

▲図１．ａ＝３のときの２つの直線

一方、ａ＝０のとき、（１）（２）はそれぞれ、
２ｘ＝０→ｘ＝０
－ｘ＝１→ｘ＝－１
になり、図２のように、直線（１）と（２）は平行で交点を持ちません。

▲図２．ａ＝０のときの２つの直線

以上から、与えられた連立方程式が解を持たないのは、ａ＝０または３のときになります。


後半では、（１）（２）を馴染み深いｙ＝Ａｘ＋Ｂのように変形して、それぞれの傾きが等しく切片が異なる、という条件で解いてもＯＫです。興味のある人は調べてみてください。