中学生でも手が届く京大入試問題（２７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

北西の風が少し強いですが、晴天の暖かい日になりました。明日は風も治まり、一層過ごしやすい日になりそうです。

さて、今回は平成２６年度京大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「１から２０までの目がふられた正２０面体のサイコロがあり、それぞれの目の出る確率は等しいものとする。Ａ、Ｂの２人がこのサイコロをそれぞれ１回ずつ投げ、大きな目を出した方はその目を得点とし、小さな目を出した方は得点を０とする。また同じ目が出た場合は、Ａ、Ｂともに０とする。このとき、Ａの得点の期待値を求めよ。」
です。

手元にある公式集には、「ある確率変数Ｘがｘ1，ｘ2，・・・，ｘn のどれか１つだけの値を必ずとり、それらの値をとる確率がそれぞれｐ1，ｐ2，・・・，ｐn 　（ｐ1＋ｐ2＋・・・＋ｐn＝１）であるとき、Ｅ（Ｘ）＝ｘ1ｐ1＋ｘ2ｐ2＋・・・＋ｘnｐn を確率変数の期待値という」とあります。

この問題の場合、確率変数はＡの得点で、Ａの得点とその得点をとる確率との積を、とり得るすべての得点（場合）について足し合わせることで期待値を求めることができます。

そこで、Ａのとり得る得点を表にまとめましょう。

▲表、Ａのとり得る得点をまとめました

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この表で、１つのマス目がとる確率は１/４００なので、表にあるＡがとり得る得点の合計に１/４００を乗ずればＡの得点の期待値を計算することができます。

そこで、Ａのとり得る得点を表の行ごとに足していくと（得点０は無視します）、その合計Ｔは、
Ｔ＝２×１＋３×２＋４×３＋５×４＋６×５＋７×６＋８×７＋９×８＋１０×９＋１１×１０＋１２×１１＋１３×１２＋１４×１３＋１５×１４＋１６×１５＋１７×１６＋１８×１７＋１９×１８＋２０×１９
です。

ここで、第２項目と第３項目、第４項目と第５項目、・・・とまとめていくと、
Ｔ＝２＋３×６＋５×１０＋７×１４＋９×１８＋１１×２２＋１３×２６＋１５×３０＋１７×３４＋１９×３８
　＝２＋２（３^2＋５^2＋７^2＋９^2＋１１^2＋１３^2＋１５^2＋１７^2＋１９^2）
　＝２＋２（９＋２５＋４９＋８１＋１２１＋１６９＋２２５＋２８９＋３６１）
　＝２＋２×１３２９
　＝２６６０
です。

したがって、Ａの得点の期待値は、２６６０/４００＝１３３/２０　で、これが答えです。


合計を求めるとき、数列の公式などを利用すると手早く計算できます。興味のある人は調べてみてください。