こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
風がなく陽射しがあるので日向は暖かく過ごしやすい日になりました。しかし、明日から天気は下り坂で、週の後半は寒さが厳しくなるようです。受験生の皆さんは暖かくして頑張ってください。
さて、今回は平成２４年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。
問題は、
「（ｎ＋２）！－ｎ！が１１^6で割り切れるような最小の自然数ｎを求めよ。」
です。 （１１^6 は１１の６乗を表します）
“！”（階乗）は高校で勉強する記号で、ｎ！は、１からｎまでの掛け算、つまり、
ｎ！＝ｎ・（ｎ－１）・（ｎ－２）・・・・２・１
のことです。
すると、問題のなかの式は、
（ｎ＋２）！－ｎ！＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）ｎ！－ｎ！
＝ｎ１（（ｎ＋２）（ｎ＋１）－１）
＝ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）
となり、ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）が１１^6で割り切れるような最小の自然数ｎを求めるということになります。
仮に、ｎ^2＋３ｎ＋１の因数に１１がない場合、ｎ！が１１^6の倍数、つまり、因数として６個の１１を持つことになります。
そこでまず、ｎ！が１１の因数を６個持ち、かつ、ｎが最小の自然数になる場合を調べます。
１１は素数なので、ｎ！が因数として１１を６個持つのは、１１、２２、３３、４４、５５、６６を因数として持つ場合で、ｎが最小の自然数になるのは、ｎ＝６６の場合です。
したがって、ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）が１１^6で割り切れる最小の自然数ｎは、ｎ≦６６であることが判りました。
次に、ｎ^2＋３ｎ＋１の因数に１１がある場合を調べます。
まず、ｎ≦６６から、
ｎ^2＋３ｎ＋１≦６６^2＋３・６６＋１
＝４５５５
＜１１^4
となり、仮に、ｎ^2＋３ｎ＋１に因数として１１があったとしても、それは最大３個になります。
そこで、ｎ^2＋３ｎ＋１に因数として１１が３個ある場合、すなわち、
ｎ^2＋３ｎ＋１＝ｍ・１１^3
＝１３３１ｍ （ｍは自然数） （１）
と表される場合を調べます。
この場合、ｎ！にある因数１１は３個（１１、２２、３３の３個）になるので、
３４≦ｎ≦４３ （２）
となります。
そこで、（１）（２）から、
１２５９≦１３３１ｍ≦１９７９
となり、
ｍ＝１
となります。
これを（１）に代入すると、
ｎ^2＋３ｎ＋１＝１３３１
で、これを整理して、
ｎ^2＋３ｎ－１３３０＝０ （３）
となります。
つまり、このｎの２次方程式が自然数の解を持てば、ｎ^2＋３ｎ＋１は因数として１１を３個持つことになります。
実際に（３）を解の公式を使って解くと、
ｎ＝（－３±√（３^2－４・（－１３３０））/２
＝（－３±７３）/２
＝－３８、３５
で、ｎ≧１なので、ｎ＝３５となります。
すなわち、ｎが３５のとき、ｎ！は、１１、２２、３３という３個の１１の倍数を持ち、ｎ^2＋３ｎ＋１ は、１３３１＝１１^3 と因数１１を３個持つので、ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）は因数として１１を６個、つまり、１１^6で割り切れることになります。
以上より、求める答えはｎ＝３５となります。
もっとスマートな解法がありそうな気もするので考えてみます。興味のある方は考えてみてください。
風がなく陽射しがあるので日向は暖かく過ごしやすい日になりました。しかし、明日から天気は下り坂で、週の後半は寒さが厳しくなるようです。受験生の皆さんは暖かくして頑張ってください。
さて、今回は平成２４年度東大大学院工学系研究科システム創成学の入試問題です。
問題は、
「（ｎ＋２）！－ｎ！が１１^6で割り切れるような最小の自然数ｎを求めよ。」
です。 （１１^6 は１１の６乗を表します）
“！”（階乗）は高校で勉強する記号で、ｎ！は、１からｎまでの掛け算、つまり、
ｎ！＝ｎ・（ｎ－１）・（ｎ－２）・・・・２・１
のことです。
すると、問題のなかの式は、
（ｎ＋２）！－ｎ！＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）ｎ！－ｎ！
＝ｎ１（（ｎ＋２）（ｎ＋１）－１）
＝ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）
となり、ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）が１１^6で割り切れるような最小の自然数ｎを求めるということになります。
仮に、ｎ^2＋３ｎ＋１の因数に１１がない場合、ｎ！が１１^6の倍数、つまり、因数として６個の１１を持つことになります。
そこでまず、ｎ！が１１の因数を６個持ち、かつ、ｎが最小の自然数になる場合を調べます。
１１は素数なので、ｎ！が因数として１１を６個持つのは、１１、２２、３３、４４、５５、６６を因数として持つ場合で、ｎが最小の自然数になるのは、ｎ＝６６の場合です。
したがって、ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）が１１^6で割り切れる最小の自然数ｎは、ｎ≦６６であることが判りました。
次に、ｎ^2＋３ｎ＋１の因数に１１がある場合を調べます。
まず、ｎ≦６６から、
ｎ^2＋３ｎ＋１≦６６^2＋３・６６＋１
＝４５５５
＜１１^4
となり、仮に、ｎ^2＋３ｎ＋１に因数として１１があったとしても、それは最大３個になります。
そこで、ｎ^2＋３ｎ＋１に因数として１１が３個ある場合、すなわち、
ｎ^2＋３ｎ＋１＝ｍ・１１^3
＝１３３１ｍ （ｍは自然数） （１）
と表される場合を調べます。
この場合、ｎ！にある因数１１は３個（１１、２２、３３の３個）になるので、
３４≦ｎ≦４３ （２）
となります。
そこで、（１）（２）から、
１２５９≦１３３１ｍ≦１９７９
となり、
ｍ＝１
となります。
これを（１）に代入すると、
ｎ^2＋３ｎ＋１＝１３３１
で、これを整理して、
ｎ^2＋３ｎ－１３３０＝０ （３）
となります。
つまり、このｎの２次方程式が自然数の解を持てば、ｎ^2＋３ｎ＋１は因数として１１を３個持つことになります。
実際に（３）を解の公式を使って解くと、
ｎ＝（－３±√（３^2－４・（－１３３０））/２
＝（－３±７３）/２
＝－３８、３５
で、ｎ≧１なので、ｎ＝３５となります。
すなわち、ｎが３５のとき、ｎ！は、１１、２２、３３という３個の１１の倍数を持ち、ｎ^2＋３ｎ＋１ は、１３３１＝１１^3 と因数１１を３個持つので、ｎ！（ｎ^2＋３ｎ＋１）は因数として１１を６個、つまり、１１^6で割り切れることになります。
以上より、求める答えはｎ＝３５となります。
もっとスマートな解法がありそうな気もするので考えてみます。興味のある方は考えてみてください。