こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
強い北風が吹いていて寒い日になりました。明日以降はもっと寒くなり、明後日は雪になるかもしれないようです。受験生の皆さんは暖かくして勉強してください。
さて、今回は平成２５年度東大大学院新領域科学研究科海洋技術環境学の入試問題です。
問題は、
「２３１００枚の同じ大きさの正方形の板がある。これらをすべて使い、重ねることなく、隙間なく敷き詰めて、縦Ｍ枚、横Ｎ枚の長方形を作るものとする。長方形の縦の長さが、横の長さより大きく、横の長さの２倍より小さい場合、ＭとＮの組み合わせをすべて求めよ。
（参考：√２３１００＝１５１．９８６８．．．）」
です。
まず、問題に書かれている条件を立式しましょう。
ＭＮ＝２３１００ （１）
２Ｎ＞Ｍ＞Ｎ （２）
（Ｍ、Ｎは正の整数）
です。
（１）を見ると素因数分解したくなるので、
ＭＮ＝２^2×３×５^2×７×１１ （３） （２^2は２の２乗を表します）
として、（２）（３）でＭまたはＮを絞り込む方針でいきましょう。（但し、Ｍ、Ｎの因数をすべて書き出しても、３×２×３×２×２＝７２通りなのですべての場合を調べる方法もあります）
初めに、（２）にＮを掛けて、
２Ｎ^2＞ＭＮ＞Ｎ^2
から、（３）を代入して、
２Ｎ^2＞２^2×３×５^2×７×１１＞Ｎ^2 （４）
を得ます。
ここで、（４）の右側の不等式から、
Ｎ^2＜２^2×３×５^2×７×１１
で、問題にある（参考：√２３１００＝１５１．９８６８．．．）を使って、
Ｎ≦１５１
となります。
次に、（４）の左側の不等式から、
２Ｎ^2＞２^2×３×５^2×７×１１
で、
√２Ｎ≧１５２
から
Ｎ≧１０８
です。
したがって、
１０８＜Ｎ≦１５２ （５）
とＮを絞り込むことができました。
あとは、２３１００の因数［２，２，３，５，５，７，１１］を適当に組み合わせたＮで（５）を満たすものを見つければＯＫです。
そこでＮの因数の個数を調べてみましょう。
Ｎの因数が１個のとき、
２≦Ｎ≦１１
なので、（５）を満たすＮはありません。
Ｎの因数が２個のとき、
４≦Ｎ≦７７
なので、（５）を満たすＮはありません。
Ｎの因数が３個のとき、
１２≦Ｎ≦３８５
なので、（５）を満たすＮがある可能性があります。
Ｎの因数が４個のとき、
６０≦Ｎ≦１９２５
なので、（５）を満たすＮがある可能性があります。
Ｎの因数が５個のとき、
３００≦Ｎ≦５７７５
なので、（５）を満たすＮはありません。
Ｎの因数が６または７個のときは、それぞれ
２１００≦Ｎ１１５５０
および
Ｎ＝２３１００
なので、（５）を満たすＮはありません。
つまり、Ｎの因数は、３または４個となります。
そこで、まずＮの因数が３個のときを調べます。
因数に１１があるとき、（５）から
１０≦Ｎ/１１≦１３ （６）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，７］のなかの２つの組み合わせで（６）を満たすのは、（２，５）の組み合わせだけで、Ｎは、２×５×１１＝１１０です。
次に、因数に７があるとき、（５）から
１６≦Ｎ/７≦２１ （７）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，１１］のなかの２つの組み合わせで（７）を満たすものはありません。
因数に５、３または２があるときは、それぞれ
２２≦Ｎ/５≦３０ 残りの因数［２，２，３，５，７，１１］→（２，１１）
３６≦Ｎ/３≦５０ 残りの因数［２，２，５，５，７，１１］→なし
５４≦Ｎ/２≦７６ 残りの因数［２，３，５，５，７，１１］→（５，１１）
で、（５，２，１１）（２，５，１１）が条件を満たしますが、これらは前のＮと同じです。
したがって、Ｎの因数が３個のとき、条件を満たすＮ（Ｍ）は、１１０（Ｍ＝２１０）となります。
次にＮの因数が４個のときを調べるのですが、その代わりにＭの因数が３個のときを調べましょう。
（５）からＭの変域は、
１５２≦Ｍ≦２１３ （８）
になります。
まず、Ｍの因数に１１があるとき、（８）から
１４≦Ｍ/１１≦１９ （９）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，７］のなかの２つの組み合わせで（９）を満たすのは、（２，７）と（３，５）の２組で、それぞれ、２×７×１１＝１５４、および、３×５×１１＝１６５ となります。
次に因数に７があるとき、（８）から
２２≦Ｍ/７≦３０ （１０）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，１１］のなかの２つの組み合わせで（１０）を満たすのは、（２，１１）（５，５）ですが、前者は前のＭと同じなので、新たなＭは、５×５×７＝１７５ となります。
さらに因数に５、３または２があるとき、それぞれ、
３１≦Ｍ/５≦４２ 残りの因数［２，２，３，５，７，１１］→（３，１１）（５，７）
５１≦Ｍ/３≦７１ 残りの因数［２，２，５，５，７，１１］→（５，１１）
７６≦Ｍ/２≦１０６ 残りの因数［２，３，５，５，７，１１］→（７，１１）
となりますが、これらはすべて前のＭと同じです。
したがって、Ｍの因数が３個のとき、つまり、Ｎの因数が４個のとき、条件を満たすＭ（Ｎ）は、１５４（Ｎ＝１５０）、１６５（Ｎ＝１４０）、１７５（Ｎ＝１３２）の３通りになります。
以上をまとめると、条件を満たすＭ、Ｎの組み合わせ（Ｍ，Ｎ）は、
（２１０，１１０）（１７５，１３２）（１６５，１４０）（１５４，１５０）の４通りで、これらの組み合わせが答えになります。
少し力ずくと言った感じがしますが、スマートな解答があれば教えてください。
強い北風が吹いていて寒い日になりました。明日以降はもっと寒くなり、明後日は雪になるかもしれないようです。受験生の皆さんは暖かくして勉強してください。
さて、今回は平成２５年度東大大学院新領域科学研究科海洋技術環境学の入試問題です。
問題は、
「２３１００枚の同じ大きさの正方形の板がある。これらをすべて使い、重ねることなく、隙間なく敷き詰めて、縦Ｍ枚、横Ｎ枚の長方形を作るものとする。長方形の縦の長さが、横の長さより大きく、横の長さの２倍より小さい場合、ＭとＮの組み合わせをすべて求めよ。
（参考：√２３１００＝１５１．９８６８．．．）」
です。
まず、問題に書かれている条件を立式しましょう。
ＭＮ＝２３１００ （１）
２Ｎ＞Ｍ＞Ｎ （２）
（Ｍ、Ｎは正の整数）
です。
（１）を見ると素因数分解したくなるので、
ＭＮ＝２^2×３×５^2×７×１１ （３） （２^2は２の２乗を表します）
として、（２）（３）でＭまたはＮを絞り込む方針でいきましょう。（但し、Ｍ、Ｎの因数をすべて書き出しても、３×２×３×２×２＝７２通りなのですべての場合を調べる方法もあります）
初めに、（２）にＮを掛けて、
２Ｎ^2＞ＭＮ＞Ｎ^2
から、（３）を代入して、
２Ｎ^2＞２^2×３×５^2×７×１１＞Ｎ^2 （４）
を得ます。
ここで、（４）の右側の不等式から、
Ｎ^2＜２^2×３×５^2×７×１１
で、問題にある（参考：√２３１００＝１５１．９８６８．．．）を使って、
Ｎ≦１５１
となります。
次に、（４）の左側の不等式から、
２Ｎ^2＞２^2×３×５^2×７×１１
で、
√２Ｎ≧１５２
から
Ｎ≧１０８
です。
したがって、
１０８＜Ｎ≦１５２ （５）
とＮを絞り込むことができました。
あとは、２３１００の因数［２，２，３，５，５，７，１１］を適当に組み合わせたＮで（５）を満たすものを見つければＯＫです。
そこでＮの因数の個数を調べてみましょう。
Ｎの因数が１個のとき、
２≦Ｎ≦１１
なので、（５）を満たすＮはありません。
Ｎの因数が２個のとき、
４≦Ｎ≦７７
なので、（５）を満たすＮはありません。
Ｎの因数が３個のとき、
１２≦Ｎ≦３８５
なので、（５）を満たすＮがある可能性があります。
Ｎの因数が４個のとき、
６０≦Ｎ≦１９２５
なので、（５）を満たすＮがある可能性があります。
Ｎの因数が５個のとき、
３００≦Ｎ≦５７７５
なので、（５）を満たすＮはありません。
Ｎの因数が６または７個のときは、それぞれ
２１００≦Ｎ１１５５０
および
Ｎ＝２３１００
なので、（５）を満たすＮはありません。
つまり、Ｎの因数は、３または４個となります。
そこで、まずＮの因数が３個のときを調べます。
因数に１１があるとき、（５）から
１０≦Ｎ/１１≦１３ （６）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，７］のなかの２つの組み合わせで（６）を満たすのは、（２，５）の組み合わせだけで、Ｎは、２×５×１１＝１１０です。
次に、因数に７があるとき、（５）から
１６≦Ｎ/７≦２１ （７）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，１１］のなかの２つの組み合わせで（７）を満たすものはありません。
因数に５、３または２があるときは、それぞれ
２２≦Ｎ/５≦３０ 残りの因数［２，２，３，５，７，１１］→（２，１１）
３６≦Ｎ/３≦５０ 残りの因数［２，２，５，５，７，１１］→なし
５４≦Ｎ/２≦７６ 残りの因数［２，３，５，５，７，１１］→（５，１１）
で、（５，２，１１）（２，５，１１）が条件を満たしますが、これらは前のＮと同じです。
したがって、Ｎの因数が３個のとき、条件を満たすＮ（Ｍ）は、１１０（Ｍ＝２１０）となります。
次にＮの因数が４個のときを調べるのですが、その代わりにＭの因数が３個のときを調べましょう。
（５）からＭの変域は、
１５２≦Ｍ≦２１３ （８）
になります。
まず、Ｍの因数に１１があるとき、（８）から
１４≦Ｍ/１１≦１９ （９）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，７］のなかの２つの組み合わせで（９）を満たすのは、（２，７）と（３，５）の２組で、それぞれ、２×７×１１＝１５４、および、３×５×１１＝１６５ となります。
次に因数に７があるとき、（８）から
２２≦Ｍ/７≦３０ （１０）
となり、残りの因数［２，２，３，５，５，１１］のなかの２つの組み合わせで（１０）を満たすのは、（２，１１）（５，５）ですが、前者は前のＭと同じなので、新たなＭは、５×５×７＝１７５ となります。
さらに因数に５、３または２があるとき、それぞれ、
３１≦Ｍ/５≦４２ 残りの因数［２，２，３，５，７，１１］→（３，１１）（５，７）
５１≦Ｍ/３≦７１ 残りの因数［２，２，５，５，７，１１］→（５，１１）
７６≦Ｍ/２≦１０６ 残りの因数［２，３，５，５，７，１１］→（７，１１）
となりますが、これらはすべて前のＭと同じです。
したがって、Ｍの因数が３個のとき、つまり、Ｎの因数が４個のとき、条件を満たすＭ（Ｎ）は、１５４（Ｎ＝１５０）、１６５（Ｎ＝１４０）、１７５（Ｎ＝１３２）の３通りになります。
以上をまとめると、条件を満たすＭ、Ｎの組み合わせ（Ｍ，Ｎ）は、
（２１０，１１０）（１７５，１３２）（１６５，１４０）（１５４，１５０）の４通りで、これらの組み合わせが答えになります。
少し力ずくと言った感じがしますが、スマートな解答があれば教えてください。