直角三角形の辺の比

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

雲があって、時々陽射しが弱くなりますが、風はなく過ごしやすい日になりました。明日、明後日は同じような天気になりますが、明々後日には南岸低気圧が近づいて、真冬のような寒さになるようです。

さて、今回は直角三角形の辺の比についてです。

図１のような、三角定規の２つの直角三角形の辺の比は、三平方の定理から導くことができますが、定期考査や入試で頻出なので、覚えておくほうがいでしょう。

▲図１．三角定規の２つの直角三角形の辺の比

さらに、難関高校の入試問題には、図２のような、内角が１５°、７５°、９０°の直角三角形の辺の比を利用するものもあります。

▲図２．内角が１５°、７５°、９０°の直角三角形の辺の比

ところが、この直角三角形の辺の比は、三角定規の２つの直角三角形の辺の比に比べて、単純ではなく、おまけに頻出ではないので、忘れてしまいがちです。（私は覚えていません）

そこで今回は、この直角三角形の辺の比の導き方を紹介したいと思います。

まず図３のような内角が３０°、６０°、９０°の直角三角形ＡＢＣの辺ＡＢを、Ａの方向に辺ＡＣの長さ延長し、その端点をＤとします。

▲図３．直角三角形ＡＢＣの辺ＡＢを、Ａの方向に辺ＡＣの長さ延長し、その端点をＤとしました

そこで、ＣとＤを結ぶと、△ＡＣＤは二等辺三角形で、∠ＣＡＤ＝１５０°なので、∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ＝１５°です。

つまり、△ＤＢＣは内角が１５°、７５°、９０°の直角三角形になります。

ここで、△ＡＢＣの辺の長さを、ＡＢ＝√３、ＢＣ＝１、ＣＡ＝２とすると、ＡＤ＝２なので、ＤＢ＝２＋√３です。

そこで、直角三角形ＤＢＣに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、ＤＢ＝２＋√３、ＢＣ＝１を代入して、

から、

です。

最後に、右辺の二重根号を外すと、（因数分解と同じ要領です）

になり、

です。

以上から、内角が１５°、７５°、９０°の辺の比は、１ ： ２＋√３ ： √６＋√２ になります。

他にも、△ＡＢＣで∠Ａの２等分線を引き、角の２等分定理を利用しても求めることができます。


次回は、内角が１５°、７５°、９０°の直角三角形の辺の比を利用する京大入試問題を取り上げます。