三角形に内接する正方形の作図法の補足

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

湿度は高いのですが蒸し暑さはあまり感じません。これから雨が降り出して、明日まで続くようです。

中学生の塾生は、先日の中間考査の準備をしっかりして、上々の出来だったようなので、今週に戻ってくる結果が楽しみです。

さて、今回は前回の三角形に内接する正方形の作図についての補足です。

前回の作図法は、三角形の２辺に接する正方形を描いて、それを拡大・縮小するものでしたが、今回は別の方法を調べてみましょう。

問題は、図１のように△ＡＢＣに内接する正方形ＤＥＦＧを作図するというものです。

▲図１．三角形に内接する正方形の作図問題

今回はＣＡ：ＣＧの比を求め、Ｇを定める方法を調べます。

まず図２のように、正方形の辺の長さをｘ、ＡＢの長さをａ、ＣＨをｈとします。△ＡＢＣと△ＧＦＣは相似なので、ＡＢ：ＧＦ＝ＣＨ：ＣＴ　が成り立ち、これをｘ、ａ、ｈで表すと、
ａ：ｘ＝ｈ：（ｈ－ｘ）
ｘ＝ａｈ/（ａ＋ｈ）
です。

▲図２．正方形の辺の長さをｘ、ＡＢの長さをａ、ＣＨをｈ　としました

つまり、図３に示すように、ＡＢ＝ａ、ＧＦ＝ａｈ/（ａ＋ｈ）なので、
ＡＢ：ＧＦ＝ａ：ａｈ/（ａ＋ｈ）
　　　　　＝１：ｈ/（ａ＋ｈ）
　　　　　＝ａ＋ｈ：ｈ
となります。

一方、ＡＢ：ＧＦ＝ＣＡ：ＣＧ　なので、
ＣＡ：ＣＧ＝ａ＋ｈ：ｈ
で、
ＣＧ：ＧＡ＝ｈ：ａ
となります。

▲図３．ＣＡとＣＧの比が求まりました

つまり、ＣＡをｈ：ａに内分する点Ｇを求めればよいことになります。

このために、図４のように、ＸＹの長さをＣＨ、ＹＺの長さをＡＢとした、ＣＡに平行な線分ＸＺを適当な位置に引き、ＸとＣ、ＺとＡを結んだ直線の交点をＯとします。

▲図４．ＣＡをｈ：ａに内分します

そして、ＯとＹを直線で結び、これとＣＡとの交点が所望のＧとなります。ここで、△ＯＣＡ∽△ＯＸＺを使いました。

あとは、ＧからＡＢに垂線を下ろし、その足をＤとし、ＧＤを１辺とする正方形を描けばお仕舞いです。


前回の正方形を描いて、それを拡大・縮小する作図法に比べると、手間がかかりますが、最後の線分をある比に内分するテクニックは覚えておくと良いでしょう。