図形問題（１４）［開成高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１５年開成高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「下図において、直線ＡＩ は∠ＣＡＢの二等分線であり、直線ＢＩ は∠ＡＢＣの二等分線であり、直線ＣＩ は∠ＢＣＡの二等分線である。また、直線ＡＩ と直線ＣＩ は直交する。
ＢＤ＝８ｃｍ、ＣＥ＝１ｃｍのとき、線分ＤＥの長さを求めよ。」

▲問題図

図１のように、与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

△ＡＤＩ と△ＡＥＩ に注目すると、∠ＤＡＩ＝∠ＣＡＩ、∠ＡＩＤ＝∠ＡＩＥ、ＡＩ は共通なので、△ＡＤＩ≡△ＡＥＩです。

したがって図２のように、ＤＩ＝ＥＩ になります。

▲図２．ＤＩ＝ＥＩです

また、∠ＢＡＩ＝∠ＣＡＩ＝●、∠ＡＢＩ＝∠ＣＢＩ＝■、∠ＡＣＩ＝∠ＢＣＩ＝▲ とすると、
●＋■＋▲＝９０°　　　（★）
になり、さらに∠ＡＩＥ＝９０°と角度についての情報がたくさんあるので、ここは相似三角形を探すのがよいでしょう。

この相似三角形の候補はすぐに見つけることができて、それは図３に示すように、△ＢＤＩと△ＩＥＣです。

▲図３．△ＢＤＩ∽△ＩＥＣになりそうです

そこで、△ＢＤＩと△ＩＥＣが相似になることを確かめましょう。

まず△ＡＢＩに注目すると、
∠ＢＩＤ＝１８０°－∠ＡＩＤ－∠ＢＡＩ－∠ＡＢＩ
　　　　＝１８０°－９０°－●－■
　　　　＝９０°－●－■
　　　　＝▲　　［（★）から］
です。

続いて△ＡＣＩに注目すると、
∠ＣＩＥ＝１８０°－∠ＡＩＥ－∠ＣＡＩ－∠ＡＣＩ
　　　　＝１８０°－９０°－●－▲
　　　　＝９０°－●－▲
　　　　＝■　　［（★）から］
です。

つまり、
∠ＤＢＩ＝∠ＥＩＣ＝■
∠ＢＩＤ＝∠ＩＣＥ＝▲
になり、△ＢＤＩ∽△ＩＥＣとなることが判りました。

すると、

が成り立ち、これに ＢＤ＝８ｃｍ、ＥＣ＝１ｃｍ、ＤＩ＝ＥＩ＝ｘｃｍ を代入して、

を得ます。

これを整理して、

とし、

から

です。

したがって、線分ＤＥの長さは、

で、これが答えです。


簡単な問題です。