図形問題（１５）［開成高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１１年開成高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「下の図形は、１辺の長さが１ｃｍの正方形と、１辺の長さが１ｃｍの正六角形４個からなる図形である。

▲問題図

　この図形を展開図とし、辺ＡＥと辺ＡＬ、辺ＢＦと辺ＢＧ、辺ＣＨと辺ＣＩ、辺ＤＪと辺ＤＫをはり合わせた容器を作る。

　次の問いに答えよ。ただし、分母に根号がある形で答えてもよい。

（１） 正方形ＡＢＣＤを底面としてこの容器に水を入れるとき、最大限入れることのできる水の体積を求めよ。

（２） この容器の５つの面すべてに接する球の半径を求めよ。」
です。

図１は、正方形ＡＢＣＤを底面としたときの容器の平面図です。

▲図１．正方形ＡＢＣＤを底面としたときの容器の平面図です

ここで四角形ＥＦＨＪは、問題図の正六角形の最も長い対角線を辺とする正方形で、その辺の長さは正六角形の辺の長さの２倍、つまり、２ｃｍになります。

次に、容器の平面ＰＱＲＳでの断面図を図２に示します。

▲図２．容器の平面ＰＱＲＳでの断面図です

まず、ＰＱの長さを求めましょう。

ＰＱの長さは図３のＢＴの長さと等しく、△ＢＦＴは斜辺の長さが１ｃｍで内角が９０°、６０°、３０°の直角三角形なので、

です。

したがって、

になります。

▲図３．ＰＱの長さを求めます

そこで図２の直角三角形ＰＱＵに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに

を代入すると、

になります。

したがって、

です。

一方、直線ＰＱと直線ＳＲの交点をＶとすると、△ＰＱＵ∽△ＰＶＷで、その相似比は１：２になります。

したがって、

です。

この容器に入れることができる水の体積の最大値は、正四角錐Ｖ－ＥＦＨＪの体積と正四角錐Ｖ－ＡＢＣＤの体積の差なので、

で、これが（１）の答えです。

続いて（２）です。

容器の５つの面の接する球をおいたときの平面ＰＱＲＳでの断面は、図４のようになります。

▲図４．容器の５つの面の接する球をおいたときの平面ＰＱＲＳでの断面です

このとき、

です。

球の半径をｒとして、直角三角形ＸＶＯに三平方の定理を適用すると、

から

が成り立ちます。

これを整理すると

になります。

したがって、求める球の半径は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。