日本数学オリンピックの簡単な問題（１３３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

空には雲が多いものの、それなりの陽射しはあって穏やかな日になりました。明日の気温が少し下がりますが、ＧＷ中は今日と同じような天気が続くようです。

さて、今回は２００８年日本数学オリンピック予選に出題された最小値を求める問題を取り上げます。

問題は、
「２００８個の実数ｘ1、ｘ2、・・・、ｘ2008 があり、ｌｘ1ｌ＝９９９であって、２以上２００８以下の整数ｎに対し

が成り立っている。このとき、ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘ2008 としてありうる最小の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

まず気がつくのが、ｘ1、ｘ2、・・・、ｘ2008 が実数とはいえ、

と

から、ｘ1、ｘ2、・・・、ｘ2008 はすべて整数になります。

次に、ｘn に絶対値がついていて煩雑なので、

と絶対値を外してしまいましょう。

そこで、

とおき、（３）を使ってＴを変形すると、

になります。

そして、これを整理して平方完成すると、

とＳの最小値を求めるのに相応しい形になりました。

あとは、

の最小値を求めることになります。

ここで、ｘ2008 が－１ をとることができれば話は簡単ですが、（１）と（２）の制限があるので、それが可能であるか調べる必要があります。

そこで（１）に着目すると、ｘ1 が奇数なので、ｘ2 は偶数、ｘ3 は奇数、・・・と奇数と偶数が順番に繰り返すことが判り、ｘ2008 は偶数です。したがって、残念ながらｘ2008 は－１になりません。

気を取り直して、（４）を最小にする偶数ｘ2008 を考えましょう。すると、それは０または－２なので、ここではｘ2008 が０をとることができるかを調べることにします。

１≦ｎ≦９９９の場合

とすると、ｘ1＝－９９９、ｌｘ1ｌ＝９９９で、（２）は成り立ちます。

また、ｘn＜０、ｘn-1＋１≦０から（１）は、

になり、（６）の右辺に（５）を代入すると、

になり、（６）、つまり（１）が成り立ちます。また、ｘ999＝－１ になります。

１０００≦ｎ≦２００８の場合
ｎが偶数のとき、ｘn＝０
ｎが奇数のとき、ｘn＝－１
とすると、

かつ、　ｌｘ（奇数）ｌ＝１、ｌｘ（偶数）＋１ｌ＝１
および、ｌｘ（偶数）ｌ＝０、ｌｘ（奇数）＋１ｌ＝０
なので、（１）を満たします。

以上から、ｘ1＝－９９９、ｘ2＝－９９８、・・・、ｘ999＝－１、ｘ1000＝０、ｘ1001＝－１、・・・、ｘ2007＝－１、ｘ2008＝０ は（１）（２）を満たすので、ｘ2008＝０は可能で、このとき（ｘ2008＋1）^2 の最小値は１ で、Ｓの最小値は－１０００００８/２＝－５００００４になります。

したがって、ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘ2008 としてありうる最小の値は －５００００４ で、これが答えです。


楽しい問題です。