ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１３１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日も朝から快晴で予想最高気温は２９℃と暑い日になりそうです。明日からは前線を伴った低気圧の影響で天気は下り坂で、明日、明後日は曇り、雨の空模様です。

さて、今回は２００４年ジュニア数学オリンピック予選に出題された数の問題を取り上げます。

問題は、
「

を

で割ってそれぞれの商と余りを求める。このとき、商として現われる整数は何種類あるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

整数Ｎを√Ｎ以下の整数で割ったときの商はとびとびの整数になり、一方、√Ｎより大きいの整数で割ったときの商は連続した整数になります。

例えば、Ｎ＝１０とすると、√Ｎ＝３．１６・・・で、１０を３．１６・・・以下の整数１、２、３で割ったときの商は、１０、５、３と飛び飛びの整数になり、３．１６・・・より大きい整数４、５、６、７、８、９、１０で割ったときの商は、２、１と連続した整数になります。

そこで、２^2004 を、１以上２^1002 以下の整数で割ったときの商と、２^1002＋１以上２^2004 以下の整数で割ったときの商に分けて調べることにしましょう。

●２^2004 を１以上２^1002 以下の整数で割る場合
１≦Ａ≦２^1002　（Ａは整数）として、２^2004 を連続した２つの整数Ａ－１とＡで割ったときの差を考えると、

が成り立ちます。

つまり、２^2004 を連続する２つの整数で割ったときの商の差は１より大きいので、すべての商の整数部分は相異なる整数になります。

したがって、商として現われる整数の種類は、整数Ａの個数に等しく、それは２^1002 （種類）です。

●２^2004 を２^1002＋１以上２^2004以下の整数で割る場合
２^1002＋１≦Ｂ≦２^2004　（Ｂは整数）とすると、２^2004 をＢで割ったときの商２^2004/Ｂは、

で、さらに、

から、２^2004/Ｂは２^1002－１より大きい値を取り得るので、２^2004/Ｂの整数部分は１以上２^1002－１以下の整数になります。　（★）

一方、２^2004 を連続する２つの整数Ｂ－１とＢで割ったときの商の差を考えると、

が成り立ちます。

つまり、（★）と、２^2004 を連続する２つの整数で割ったときの商の差は１より小さいことから、２^2004/Ｂの整数部分は１以上２^1002－１以下のすべての整数をとることになります。

したがって、商として現われる整数の種類は、２^1002－１ （種類）です。

以上から、

を

で割ったときの商に現われる整数の種類は、

で、これが答えです。


楽しい問題です。