あめるは、仙台以北の方言です。
ゴハンや食べ物が「すえた（饐えた）」状態、半分腐った状態になることを言います。
用例としては、「ありゃ～、まんまmanma あめでamede しまったぢゃshimattaja」
（あら！ゴハンが悪くなってしまったわ）
「ありゃ～、こいずkoizu あめくせぐamekusegu なったな」
（あれ！これ、すえた臭いがするね）
東北限定かと思ったら、ググッてみたら伊勢でも使うようですね。上古では、ウルチ米で飴をつくることから派生した言葉でしょう。「あめる」は、主にゴハンが「げね」ぐなることをさしますよね。
それと、この頃は、新東北弁？として、「気持ちあめるよね～」なんて使うアネッコもいるようです（＾＾；
 | 【精米】岩手県産 金札米江刺産 特別栽培米 白米 ひとめぼれ 2kg 令和元年産 原材料:精米 純情米いわて |
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飴を動詞に使ったものとおもわれる。飴は穀物の澱粉を麦芽の作用で糖化させたものであり、これをもって食べ物が変わることに用いたとの説あり。
飴を放置するとべたべたするから、ではない。でもそんな気もちょとしますねw
今日はあたしがあめてます。
まぁ、休んでうごがねのも、手だな。