―「先程（令和０３年１０月０２日）の記事を書き直します。―
（01）
練習問題５：１０個の原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁）
（ｄ）～Ｑ├ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
〔私による解答〕
１（１） ～Ｑ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｒ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｒ ２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（Ｑ→Ｒ） ３∨Ｉ
１（５） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ４含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
（ｄ）～Ｑ├ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
といふ「連式」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３）Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｒ ２４ＭＰＰ
１２ （６） Ｐ→Ｒ ３５ＣＰ
１ （７）Ｑ→（Ｐ→Ｒ） ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）Ｑ→（Ｐ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３）Ｑ Ａ
１ ３（４） Ｐ→Ｒ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｒ ２４ＭＰＰ
１２ （６） Ｑ→Ｒ ３５ＣＰ
１ （７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ２６ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
① ～Ｑ├ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
② ～Ｑ├ Ｑ→（Ｐ→Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１）Ｑ→（Ｐ→Ｒ） Ａ
２（２）Ｑ＆ Ｐ Ａ
２（３）Ｑ ２＆Ｅ
１２（４） Ｐ→Ｒ １３ＭＰＰ
２（５） Ｐ ２＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７） Ｑ＆Ｐ→Ｒ ２６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｑ＆Ｐ→Ｒ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
２３（４） Ｑ＆Ｐ ２３＆Ｉ
１２３（５） Ｒ １４ＭＰＰ
１２ （６） Ｐ→Ｒ ３５ＣＰ
１ （７）Ｑ→（Ｐ→Ｒ） ２６ＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
② ～Ｑ├ Ｑ→（Ｐ→Ｒ）
③ ～Ｑ├（Ｑ＆Ｐ）→Ｒ
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１ （１） （Ｑ＆Ｐ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｑ＆Ｐ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｑ＆Ｐ） Ａ
３ （４） ～Ｑ∨～Ｐ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ ４∨Ｉ
６（６） Ｒ Ａ
６（７） ～Ｐ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） ～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） ～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ ２３５６８∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ Ａ
１ （２）（～Ｑ∨～Ｐ）∨Ｒ １結合法則
３ （３）（～Ｑ∨～Ｐ） Ａ
３ （４）～（Ｑ＆Ｐ） ３ド・モルガンの法則
３ （５）～（Ｑ＆Ｐ）∨Ｒ ４∨Ｉ
６（６） Ｒ Ａ
６（７）～（Ｑ＆Ｐ）∨Ｒ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｑ＆Ｐ）∨Ｒ ２３５６７∨Ｅ
従って、
（07）により、
（08）
③ ～Ｑ├ （Ｑ＆Ｐ）→Ｒ
④ ～Ｑ├ ～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（06）（08）により、
（09）
① ～Ｑ├ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
② ～Ｑ├ Ｑ→（Ｐ→Ｒ）
③ ～Ｑ├ （Ｑ＆Ｐ）→Ｒ
④ ～Ｑ├ ～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
① Ｑではない。従って、 Ｐならば、（ＱならばＲである）。
② Ｑではない。従って、 Ｑならば、（ＰならばＲである）。
③ Ｑではない。従って、（Ｑであって、Ｐである）ならばＲである。
④ Ｑではない。従って、（Ｑでないか、Ｐでないか、Ｒである。）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（11）
（ⅰ）（Ｑでないか、Ｐでないか、Ｒである。）然るに、
（ⅱ）（Ｑであって、Ｐである。）従って、
（ⅲ） Ｒである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（12）
（ⅰ）（Ｑであって、Ｐである）ならばＲである。然るに、
（ⅱ） Ｑである。
（ⅲ） Ｐである。従って、
（ⅳ） Ｒである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（13）
（ⅰ）Ｑならば、（ＰならばＲである）。然るに、
（ⅱ） Ｐである。
（ⅲ）Ｑである。従って、
（ⅳ） Ｒである。
といふ「推論」は、「妥当」である。