―「昨日（令和０３年１０月３０日）の記事」を書き直します。―
（01）
① 真→真
② 真→偽
③ 偽→真
④ 偽→偽
に於いて、
② だけが、「偽」である。
従って、
（01）により、
（02）
「番号」を付け直すと、
① 真→真
② 偽→真
③ 偽→偽
は、３つとも「真」である。
従って、
（02）により、
（03）
「番号」を付け直すと、
① □→真
② 偽→□
であれば、２つとも、「真」である。
従って、
（03）により、
（04）
① □→真
② 偽→□
であれば、２つとも、「真」である、が故に、
① Ｐ→Ｑ
② Ｑ→Ｒ
に於いて、
③ Ｑが「真」であれば、① が「真」であり、
④ Ｑが「偽」であれば、② が「真」である。
然るに、
（05）
「排中律」により、
③ Ｑは「真」であるか、
④ Ｑは「偽」であるかの、いづれかである。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ｐ→Ｑ
② Ｑ→Ｒ
に於いて、
① が「真」であるか、
② が「真」であるかの、いづれかである。
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ→Ｑ
② Ｑ→Ｒ
に於いて、
① または、② が「真」である。
然るに、
（08）
① Ｐ→Ｑ
② Ｑ→Ｒ
に於いて、
① または、② が「真」である。
といふことが、 「真」である。
といふことを、
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ風に書く。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「論理式」は、「恒真式」である。
然るに、
（10）
練習問題５：１０個の原始的規則だけを用いて、つぎの連式を証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁改）
〔私による解答〕
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
１ （１） ～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
２ （３） Ｑ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｑ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｑ∨～Ｑ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｑ∨～Ｑ）＆
（Ｑ∨～Ｑ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｑ∨～Ｑ） １７ＲＡＡ
（９） Ｑ∨～Ｑ ８ＤＮ
ア （ア） Ｑ Ａ（９の選言項左）
ア （イ）～Ｐ∨Ｑ ア∨Ｉ
ウ （ウ）Ｐ＆～Ｑ Ａ
エ （エ）～Ｐ Ａ（イの選言項左）
ウ （オ）Ｐ ウ＆Ｅ
ウエ （カ）～Ｐ＆Ｐ エオ＆Ｉ
エ （キ）～（Ｐ＆～Ｑ） ウカＲＡＡ
ク （ク） Ｑ Ａ（イの選言項右）
ウ （ケ） ～Ｑ ウ＆Ｅ
ウ ク （コ）Ｑ＆～Ｑ クケ＆Ｉ
ク （サ）～（Ｐ＆～Ｑ） ウコＲＡＡ
ア （シ）～（Ｐ＆～Ｑ） アエキクサ∨Ｅ
ス （ス） Ｐ Ａ
セ （セ） ～Ｑ Ａ
スセ （ソ） Ｐ＆～Ｑ スセ＆Ｉ
ア スセ （タ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） シソ＆Ｉ
ア ス （チ） ～～Ｑ セタＲＡＡ
ア ス （ツ） Ｑ チＤＮ
ア （テ） Ｐ→Ｑ スツＣＰ
ア （ト）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） テ∨Ｉ
ナ （ナ） ～Ｑ Ａ（９の選言項右）
ナ （ニ） ～Ｑ∨Ｒ ナ∨Ｉ
ヌ （ヌ） Ｑ＆～Ｒ Ａ
ネ （ネ） ～Ｑ Ａ（ニの選言項左）
ヌ （ノ） Ｑ ヌ＆Ｅ
ヌネ （ハ） ～Ｑ＆Ｑ ネノ＆Ｉ
ネ （ヒ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ヌハＲＡＡ
フ （フ） Ｒ Ａ（ニの選言項右）
ヌ （ヘ） ～Ｒ ヌ＆Ｅ
ヌ フ （ホ） Ｒ＆～Ｒ フヘ＆Ｉ
フ （マ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ヌホＲＡＡ
ナ （ミ） ～（Ｑ＆～Ｒ） ナネヒフマ∨Ｅ
ム （ム） Ｑ Ａ
メ（メ） ～Ｒ Ａ
ムメ（モ） Ｑ＆～Ｒ ムメ＆Ｉ
ナ ムメ（ヤ） ～（Ｑ＆～Ｒ）＆
（Ｑ＆～Ｒ） ミモ＆Ｉ
ナ ム （イ） ～～Ｒ メヤＲＡＡ
ナ ム （ユ） Ｒ イＤＮ
ナ （エ） Ｑ→Ｒ ムユＣＰ
ナ （ヨ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） エ∨Ｉ
（ラ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ） ＿アトナヨ∨Ｅ
従って、
（09）（10）により、
（11）
果たして、
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「論理式」は、「恒真式」である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① 真→真
② 真→偽
③ 偽→真
④ 偽→偽
に於いて、
② だけが、「偽」である。
とした「結果」として、
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＤＮ
従って、
（13）により、
（14）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
① Ｐであるならば、Ｑである。
②（Ｐであって、Ｑでない）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（15）により、
（16）
① Ｐが真であるならば、Ｑも真である。
②（Ｐが真であって、Ｑが偽である）といふことは偽である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（17）
① Ｐが真であるならば、Ｑも真である。
②（Ｐが真であって、Ｑが偽である）といふことは偽である。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① 真→真
② 真→偽
③ 偽→真
④ 偽→偽
に於ける、
② が、「偽」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（12）（17）により、
（18）
① 真→真
② 真→偽
③ 偽→真
④ 偽→偽
に於ける、
② だけが「偽」であるが故に、
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「論理式」は、「恒真式」である。
従って、
（19）
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、例へば、
Ｐ＝東洋人である。
Ｑ＝日本人である。
Ｒ＝男性である。
として、
③（東洋人であるならば、日本人であるか、）または、（日本人であるならば、男性である。）
といふ「命題」は、「真（本当）」である。