（848）「述語論理の、最大の難所（eigenvariable 条件）」の具体例（Ⅱ）。

（01）
１１２　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　１ＵＥ
　２　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　２　（５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　４ＵＩ
　　６（６）　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　　　Ｇａ　　６ＵＥ
　　６（８）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　８ＵＩ
１　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　１２５６９∨Ｅ
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨　Ｇｘ）　　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｆａ∨　Ｇａ　　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　　Ｆａ＆～Ｇａ　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　　Ｇａ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　　　～Ｇａ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　～Ｆａ　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　　～Ｇａ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　（ク）　　　　　～～Ｇａ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　　　Ｇａ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　エケＣＰ
１　　　　　（サ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　コＵＩ
（ⅱ）
１　　　　　（１）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　Ａ
１　　　　　（２）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）　　Ａ
　　４　　　（４）　　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　　４　　　（５）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　４∨Ｉ
　３４　　　（６）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　３５＆Ｉ
　３　　　　（７）　　　～Ｆａ　　　　　　４６ＲＡＡ
１３　　　　（８）　　　　　　　Ｇａ　　　２７ＭＰＰ
１３　　　　（９）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　８∨Ｉ
１３　　　　（ア）　　～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　３９＆Ｉ
１　　　　　（イ）　～～（Ｆａ∨Ｇａ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）　　　（Ｆａ∨Ｇａ）　　イＤＮ
１　　　　　（オ）　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　ウＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（ Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「連式」が「妥当」であるため、次の「計算」は、「妥当」である。
１　　　　（１）　　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　　（２）　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）～～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＤＮ
　２　　　（４）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　５　　（６）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　５∨I
１　　　　（７）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１２４５６∨Ｅ
１　　　　（８）　～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　７含意の定義
　　　９　（９）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　９量化子の関係
１　　９　（イ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　８アＭＰＰ
１　　　　（ウ）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　９イＣＰ
　　　　エ（オ）　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ（カ）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　オＥＩ
１　　　エ（キ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　ウカＭＰＰ
１　　　エ（ク）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　キＵＥ
１　　　　（ケ）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　エクＣＰ
１　　　　（コ）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　ケＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
１　　　　（ウ）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　９イＣＰ
　　　　エ（オ）　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ（カ）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　オＥＩ
１　　　エ（キ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　ウカＭＰＰ
１　　　エ（ク）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　キＵＥ
１　　　　（ケ）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　エクＣＰ
１　　　　（コ）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　ケＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
１　（１）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　２ＥＩ
１２（４）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　４ＵＥ
１　（６）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　　６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
従って、
（07）により、
（08）
１　（１）　∃ｘ（～偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～偶数ａ　　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～偶数ｘ）　　　　　　　　　２ＥＩ
１２（４）　　　　　　　　　　∀ｘ（奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　　　　奇数ａ　　４ＵＥ
１　（６）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　　６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
　２（２）　　　～偶数ａ　　Ａ
　２（３）∃ｘ（～偶数ｘ）　２ＥＩ
といふ「２行」は、
（２）「任意の数ａ」が「偶数」ではないので、
（３）「偶数ではない数ｘ」が存在する。
といふことを、述べてゐる。
然るに、
（10）
１２（４）∀ｘ（奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　奇数ａ　　４ＵＥ
といふ「２行」は、
（４）「すべての数」は「奇数」であるため、
（５）「任意の数ａ」は「奇数」である。
といふことを、述べてゐる。
従って、
（09）（10）により、
（11）
　２（２）　　　～偶数ａ　　Ａ
　２（３）∃ｘ（～偶数ｘ）　２ＥＩ
１２（４）∀ｘ（　奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　奇数ａ　　４ＵＥ
といふ「４行」は、
（ａ）「任意の数ａ」が「偶数」ではないので、「偶数ではない数ｘ」が存在する。
（ｂ）「すべての数」は「奇数」であるため、　「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふことを、述べてゐる。
然るに、
（12）
（ａ）「任意の数ａ」が「偶数」ではないので、「偶数ではない数ｘ」が存在する。
（ｂ）「すべての数」は「奇数」であるため、　「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」は、明らかに、「真」である。
然るに、
（13）
（ｂ）「すべての数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」に対して、
（ｃ）　　「ある数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」は、「真」では、有り得ない。
然るに、
（14）
（ｃ）「ある数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」は、「真」では、有り得ないが、仮に、
（ｃ）「ある数」は「奇数」であるため、「任意の数ａ」も「奇数」である。
といふ「命題」が、「真」であるならば、
１　（１）　∃ｘ（～偶数ｘ）→∃ｘ（奇数ｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～偶数ａ　　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～偶数ｘ）　　　　　　　　　２ＥＩ
１２（４）　　　　　　　　　　∃ｘ（奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　　　　奇数ａ　　Ａ
１　（６）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　　６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」である。
といふことに、ならざるを得ない。
従って、
（13）（14）により、
（15）
１　（１）　∃ｘ（～偶数ｘ）→∃ｘ（奇数ｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～偶数ａ　　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～偶数ｘ）　　　　　　　　　２ＥＩ
１２（４）　　　　　　　　　　∃ｘ（奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　　　　奇数ａ　４ＵＥ
１　（６）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　　６ＵＩ
といふ「計算」は、「妥当」ではない。
然るに、
（16）
１　（１）　∃ｘ（～偶数ｘ）→∃ｘ（奇数ｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～偶数ａ　　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　∃ｘ（～偶数ｘ）　　　　　　　　　２ＥＩ
１２（４）　　　　　　　　　　∃ｘ（奇数ｘ）　１３ＭＰＰ
１２（５）　　　　　　　　　　　　　奇数ａ　　Ａ
１　（６）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（７）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　　６ＵＩ
といふ「計算（マチガイ）」は、「eigenvariable 条件」に対する「違反の、具体例」である。
然るに、
（17）
矢田部俊介先生曰く：
「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「述語論理最大の難所」であって、これ本当にねぇ、わけわかんないですよね。僕は、初めてこれを習ったとき、見たとき、何のことか、全く理解できなかったんですよ。
との、ことである。