（01）
―「排中律」の「証明」―
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ Ａ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
然るに、
（02）
～真≡「真ではない」≡「偽である」
～偽≡「偽ではない」≡「真である」
従って、
（02）により、
（03）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、
Ｐ＝真
Ｐ＝偽
といふ「代入（Substitutions）」を行ふと、
① ～Ｐ∨Ｐ≡「Ｐは偽であるか、または、真である。」
② ～Ｐ∨Ｐ≡「Ｐは真であるか、または、偽である。」
然るに、
（04）
①「Ｐは偽であるか、または、真である。」
②「Ｐは真であるか、または、偽である。」
といふことは、「恒に、真である。」
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（06）
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）≡「（Ｐ→Ｑ）は偽であるか、または、真である。」
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）≡「（Ｐ→Ｑ）は真であるか、または、偽である。」
然るに、
（07）
①「（Ｐ→Ｑ）は偽であるか、または、真である。」
②「（Ｐ→Ｑ）は真であるか、または、偽である。」
といふことは、「恒に、真である。」
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（05）（08）により、
（09）
① ～Ｐ∨Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
といふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるならば、
Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）
Ｐ＝（Ｐ→Ｑ）
といふ「代入（Substitutions）」を行った「結果（Substitution instances）」である所の、
① ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
② ～（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」である。
（10）
① ２×３
② ２×（１＋２）
であれば、「その数値（６）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）により、
（11）
① Ａ×Ｂ
② Ａ×（Ｃ＋Ｄ）
に於いて、
①＝② であるならば、
Ｂ＝（Ｃ＋Ｄ） である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
「四則演算」がそうであるやうに、
「命題計算」に於いても、
① Ｐ＆Ｑ
② Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
①＝② であるならば、「その真理値（真・偽）」に於いて、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ） である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ １２ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ） Ａ
１（２） （Ｑ∨Ｒ） １＆Ｅ
（３）（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ） １２ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「２つの論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「論理式」が、「恒真式」であるならば、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
といふ「代入（置き換へ）」を行った「結果」である所の、
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
Ｑ＝（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、「左辺の真理値（真・偽）」と、「右辺の真理値（真・偽）」は、「等しい」。
従って、
（15）により、
（16）
「逆」に言へば、
②（Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ））→（Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるならば、
（Ｑ∨Ｒ）＝Ｑ
といふ「Substitution（Replacement）」を行った「結果」である所の、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｑ
といふ「論理式」も、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
（Ｑ∨Ｒ）＝Ｑ
に於いて、「左辺の真理値（真・偽）」と、「右辺の真理値（真・偽）」は、「等しい」。