中学生でも解ける東大大学院入試問題（２０７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３０年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「 ａ、ｂ、ｃ を自然数とする。
１） ａ＋ｂ＋ｃ＝２０ となる（ａ，ｂ，ｃ）の組は何通りか。
２） ａ＋ｂ＋ｃ≦２０ となる（ａ，ｂ，ｃ） の組は何通りか。」
です。



１）では、下図のように、２０個の球を並べて、球と球の間の２ヶ所に仕切りを入れることを考えましょう。

▲図．２０個の球を並べて球と球の間の２ヶ所に仕切りを入れます

このとき、２０個の球は３つに分割され、左、中央、右の球の個数をそれぞれａ、ｂ、ｃとすれば、２個の仕切りの入れ方が（ａ，ｂ，ｃ）の組の個数になります。

つまり、仕切りを入れることができる１９ヶ所から２ヶ所選ぶ選び方が（ａ，ｂ，ｃ）の組の個数になるので、

から、１７１（通り）が答えです。

２）は１）と同じように、球を２０個、１９個、・・・、３個並べて、２ヶ所に仕切りを入れることを考えます。

すると、それぞれの場合の仕切りの入れ方は、

になり、ａ＋ｂ＋ｃ≦２０ となる（ａ，ｂ，ｃ） の組は、

です。

この式の各項を

で置き換えて計算すると、

になり、ａ＋ｂ＋ｃ≦２０ となる（ａ，ｂ，ｃ） の組は １１４０（通り）で、これが答えです。


を知っていれば、より簡単に計算できます。


簡単な問題です。