こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、平成３１年度都立日比谷高入試問題を取り上げます。
問題は、
「下の図１に示した立体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨは１辺の長さが６ｃｍの立方体である。
▲図１．問題図（１）
辺ＡＥ上にある点をＰ、辺ＢＦ上にある点をＱとする。
頂点Ｄと点Ｐ、点Ｐと頂点Ｄをそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。
〔問１〕 ＡＰ＝１ｃｍ、ＢＱ＝２ｃｍのとき、△ＤＰＱの面積は何ｃｍ2か。
〔問２〕 頂点Ｃと点Ｑ、頂点Ｃと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を考える。
ＡＰ＝ａ ｃｍ（０＜ａ＜６）とする。
直線ＤＱと直線ＣＰが交わるとき、立体ＡＰＤ－ＢＱＣの体積をａを用いた式で表せ。
ただし、答えだけではなく、答えを求める過程がわかるように、途中の式や計算なども書け。
〔問３〕 下の図２は、図１において、点Ｑが頂点Ｂの位置にあり、頂点Ｇと頂点Ｄ、頂点Ｇと点Ｐ、頂点Ｇと点Ｑをそれぞれ結んだ場合を表している。
▲図２．問題図（２）
立体Ａ－ＤＰＱの体積をＶｃｍ3、立体Ｇ－ＤＰＱの体積をＷｃｍ3とする。
ＡＰ＝５ｃｍのとき、Ｖ：Ｗを最も簡単な整数の比で表せ。」
です。
△ＡＤＰに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これにＡＤ＝６ｃｍ、ＡＰ＝１ｃｍを代入すると、
から、図３の左側のように、
になります。
▲図３．△ＡＤＰに三平方の定理を適用しました
また、Ｐから辺ＢＦに下ろした垂線の足をＲとすると、△ＡＤＰ≡△ＲＰＱ（ＡＤ＝ＲＰ、ＡＰ＝ＲＱ、∠ＤＡＰ＝∠ＰＲＱ）になり、したがって、
です。
続いて△ＢＤＱに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、このときＢＤは１辺６ｃｍの正方形の対角線なので
から
で、したがって、
になり、これから△ＤＰＱは図３の右側に示すような二等辺三角形になります。
ここで、Ｐから線分ＤＱに下ろした垂線の足をＨとして、△ＰＤＨに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これに
を代入すると、
から
です。
したがって、△ＤＰＱの面積は、
で、これが問１の答えです。
次に問２です。
図４のように、直線ＤＱと直線ＣＰが交わるので、Ｃ、Ｄ、Ｐ、Ｑは同一平面上にあります。
▲図４．Ｃ、Ｄ、Ｐ、Ｑは同一平面上にあります
このとき、平面ＡＢＦＥと平面ＤＣＧＨは平行なので、これらの２平面と平面ＣＤＰＱの交線ＰＱとＤＣは平行で、ＰＱ//ＤＣです。
一方、ＤＣ//ＡＢからＰＱ//ＡＢで、さらにＡＰ//ＢＱなので、四角形ＡＢＱＰは平行四辺形になり、したがってＡＰ＝ＢＱ＝ａ（ｃｍ）です。
以上から、立体ＡＰＤ－ＢＱＣは、底面を△ＡＤＰ、高さをＡＢとする三角柱なので、その体積は、
６×ａ×１/２×６＝ １８ａ （ｃｍ3）で、これが答えです。
最後の問３です。
図５のようにＰとＦ、ＰとＨを結び、その体積を容易に求めることができる、三角錐Ｐ－ＡＢＤ、Ｇ－ＢＣＤ、Ｐ－ＢＦＧ、Ｐ－ＤＧＨ、四角錐Ｐ－ＥＦＧＨを作り、これらの立体を立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨから取り除けば立体Ｇ－ＤＰＱが残り、その体積を簡単に計算することができます。
▲図５．立方体を６個の立体に分割します
それでは、各立体の体積を計算しましょう。
から、立体Ｇ－ＤＰＱの体積Ｗは、
Ｗ＝２１６－（３０＋３６×３＋１２）＝６６（ｃｍ3）
です。
このとき、
立体Ａ－ＤＰＱは三角錐Ｐ－ＡＢＤなので、Ｖ＝３０（ｃｍ3）で、したがって、Ｖ：Ｗ＝３０：６６＝ ５：１１ で、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、平成３１年度都立日比谷高入試問題を取り上げます。
問題は、
「下の図１に示した立体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨは１辺の長さが６ｃｍの立方体である。
▲図１．問題図（１）
辺ＡＥ上にある点をＰ、辺ＢＦ上にある点をＱとする。
頂点Ｄと点Ｐ、点Ｐと頂点Ｄをそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。
〔問１〕 ＡＰ＝１ｃｍ、ＢＱ＝２ｃｍのとき、△ＤＰＱの面積は何ｃｍ2か。
〔問２〕 頂点Ｃと点Ｑ、頂点Ｃと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を考える。
ＡＰ＝ａ ｃｍ（０＜ａ＜６）とする。
直線ＤＱと直線ＣＰが交わるとき、立体ＡＰＤ－ＢＱＣの体積をａを用いた式で表せ。
ただし、答えだけではなく、答えを求める過程がわかるように、途中の式や計算なども書け。
〔問３〕 下の図２は、図１において、点Ｑが頂点Ｂの位置にあり、頂点Ｇと頂点Ｄ、頂点Ｇと点Ｐ、頂点Ｇと点Ｑをそれぞれ結んだ場合を表している。
▲図２．問題図（２）
立体Ａ－ＤＰＱの体積をＶｃｍ3、立体Ｇ－ＤＰＱの体積をＷｃｍ3とする。
ＡＰ＝５ｃｍのとき、Ｖ：Ｗを最も簡単な整数の比で表せ。」
です。
△ＡＤＰに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これにＡＤ＝６ｃｍ、ＡＰ＝１ｃｍを代入すると、
から、図３の左側のように、
になります。
▲図３．△ＡＤＰに三平方の定理を適用しました
また、Ｐから辺ＢＦに下ろした垂線の足をＲとすると、△ＡＤＰ≡△ＲＰＱ（ＡＤ＝ＲＰ、ＡＰ＝ＲＱ、∠ＤＡＰ＝∠ＰＲＱ）になり、したがって、
です。
続いて△ＢＤＱに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、このときＢＤは１辺６ｃｍの正方形の対角線なので
から
で、したがって、
になり、これから△ＤＰＱは図３の右側に示すような二等辺三角形になります。
ここで、Ｐから線分ＤＱに下ろした垂線の足をＨとして、△ＰＤＨに三平方の定理を適用すると、
が成り立ち、これに
を代入すると、
から
です。
したがって、△ＤＰＱの面積は、
で、これが問１の答えです。
次に問２です。
図４のように、直線ＤＱと直線ＣＰが交わるので、Ｃ、Ｄ、Ｐ、Ｑは同一平面上にあります。
▲図４．Ｃ、Ｄ、Ｐ、Ｑは同一平面上にあります
このとき、平面ＡＢＦＥと平面ＤＣＧＨは平行なので、これらの２平面と平面ＣＤＰＱの交線ＰＱとＤＣは平行で、ＰＱ//ＤＣです。
一方、ＤＣ//ＡＢからＰＱ//ＡＢで、さらにＡＰ//ＢＱなので、四角形ＡＢＱＰは平行四辺形になり、したがってＡＰ＝ＢＱ＝ａ（ｃｍ）です。
以上から、立体ＡＰＤ－ＢＱＣは、底面を△ＡＤＰ、高さをＡＢとする三角柱なので、その体積は、
６×ａ×１/２×６＝ １８ａ （ｃｍ3）で、これが答えです。
最後の問３です。
図５のようにＰとＦ、ＰとＨを結び、その体積を容易に求めることができる、三角錐Ｐ－ＡＢＤ、Ｇ－ＢＣＤ、Ｐ－ＢＦＧ、Ｐ－ＤＧＨ、四角錐Ｐ－ＥＦＧＨを作り、これらの立体を立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨから取り除けば立体Ｇ－ＤＰＱが残り、その体積を簡単に計算することができます。
▲図５．立方体を６個の立体に分割します
それでは、各立体の体積を計算しましょう。
から、立体Ｇ－ＤＰＱの体積Ｗは、
Ｗ＝２１６－（３０＋３６×３＋１２）＝６６（ｃｍ3）
です。
このとき、
立体Ａ－ＤＰＱは三角錐Ｐ－ＡＢＤなので、Ｖ＝３０（ｃｍ3）で、したがって、Ｖ：Ｗ＝３０：６６＝ ５：１１ で、これが答えです。
簡単な問題です。
