こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
朝は晴れ間が見られたのですが、今は曇り空です。しかし、これから雲が切れてくるようで、気温も２１℃と暖く過ごしやすい日になりました。明日、明後日も同じような天気が続くようで、良い週末になりそうです。
さて、今回は平成１８年度京大入試問題（前期、理系）です。
問題は、
「２以上の自然数ｎに対し、ｎとｎ^2＋２がともに素数になるのはｎ＝３の場合に限ることを示せ。」
です。
簡単そうな問題です。早速、取り掛かりましょう。
まず、ｎ＝２のときを調べると、
ｎ^2＋２＝６＝２×３
で、ｎ^2＋２が合成数になり、ｎとｎ^2＋２はともに素数ではありません。
次に、ｎ＝３のときです。
ｎ~2＋２＝１１
なので、ｎとｎ^2＋２はともに素数です。
ｎ＝４のときは、４（＝２×２）が合成数なので、ｎ≧５のときを調べましょう。
ここで、少し計算してみると、
ｎ＝５ のとき、ｎ^2＋２＝２７ ＝３×９、
ｎ＝７ のとき、ｎ^2＋２＝５１ ＝３×１７、
ｎ＝１１のとき、ｎ^2＋２＝１２３＝３×４１
ｎ＝１３のとき、ｎ^2＋２＝１７１＝３×５７
と、ｎが素数のとき、ｎ^2＋２は３の倍数になりそうです。
そこで、ｎを３の剰余類で分類して調べましょう。
まず、ｎ＝３ｋ （ｋ≧２、ｋは整数）のとき、
ｎは６以上の３の倍数なので、ｎとｎ^2＋２がともに素数になることはありません。
続いて、
ｎ＝３ｋ±１ （ｋ≧２、ｋは整数） （１）
のときを調べます。
ここで、（１）をｎ^2＋２に代入すると、
（３ｋ±１）^2＋２＝９ｋ^2±６ｋ＋１＋２
＝３（３ｋ^2±２ｋ＋１）
で、このとき３ｋ^2＋２ｋ＋１は整数なので、ｎ^2＋２は２７以上の３の倍数になります。
つまり、ｎ≧５のとき、ｎとｎ^2＋２がともに素数になることはありません。
したがって、ｎとｎ^2＋２がともに素数になるのはｎ＝３の場合に限ります。
剰余類を利用して調べる方法は、頻繁に使われる手筋なので、頭に入れておくと良いでしょう。
朝は晴れ間が見られたのですが、今は曇り空です。しかし、これから雲が切れてくるようで、気温も２１℃と暖く過ごしやすい日になりました。明日、明後日も同じような天気が続くようで、良い週末になりそうです。
さて、今回は平成１８年度京大入試問題（前期、理系）です。
問題は、
「２以上の自然数ｎに対し、ｎとｎ^2＋２がともに素数になるのはｎ＝３の場合に限ることを示せ。」
です。
簡単そうな問題です。早速、取り掛かりましょう。
まず、ｎ＝２のときを調べると、
ｎ^2＋２＝６＝２×３
で、ｎ^2＋２が合成数になり、ｎとｎ^2＋２はともに素数ではありません。
次に、ｎ＝３のときです。
ｎ~2＋２＝１１
なので、ｎとｎ^2＋２はともに素数です。
ｎ＝４のときは、４（＝２×２）が合成数なので、ｎ≧５のときを調べましょう。
ここで、少し計算してみると、
ｎ＝５ のとき、ｎ^2＋２＝２７ ＝３×９、
ｎ＝７ のとき、ｎ^2＋２＝５１ ＝３×１７、
ｎ＝１１のとき、ｎ^2＋２＝１２３＝３×４１
ｎ＝１３のとき、ｎ^2＋２＝１７１＝３×５７
と、ｎが素数のとき、ｎ^2＋２は３の倍数になりそうです。
そこで、ｎを３の剰余類で分類して調べましょう。
まず、ｎ＝３ｋ （ｋ≧２、ｋは整数）のとき、
ｎは６以上の３の倍数なので、ｎとｎ^2＋２がともに素数になることはありません。
続いて、
ｎ＝３ｋ±１ （ｋ≧２、ｋは整数） （１）
のときを調べます。
ここで、（１）をｎ^2＋２に代入すると、
（３ｋ±１）^2＋２＝９ｋ^2±６ｋ＋１＋２
＝３（３ｋ^2±２ｋ＋１）
で、このとき３ｋ^2＋２ｋ＋１は整数なので、ｎ^2＋２は２７以上の３の倍数になります。
つまり、ｎ≧５のとき、ｎとｎ^2＋２がともに素数になることはありません。
したがって、ｎとｎ^2＋２がともに素数になるのはｎ＝３の場合に限ります。
剰余類を利用して調べる方法は、頻繁に使われる手筋なので、頭に入れておくと良いでしょう。
