こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今週末は、夏休み最後の週末なので晴れるとよいのですが、残念ながら、今日から明後日の日曜日まで、曇ったり雨が降ったりの天気が続くようです。
先日２元２次連立方程式の解き方（４）で対称式を取り上げましたが、今回は、ｘ^n＋ｙ^n を基本対称式ｘ＋ｙとｘｙで表すことを調べてみます。
まず、
Ａn＝ｘ^n＋ｙ^n
とします。
すると、
Ａn＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^(n-1)＋ｙ^(n-1)）－ｘ・ｙ^(n-1)－ｙ・ｘ^(n-1)
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^(n-1)＋ｙ^(n-1)）－ｘｙ・ｙ^(n-2)－ｘｙ・ｘ^(n-2)
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^(n-1)＋ｙ^(n-1)）－ｘｙ（ｙ^(n-2)－ｘ^(n-2)）
＝（ｘ＋ｙ）Ａn-1－ｘｙＡn-2 （１）
という漸化式を得ることができます。
この漸化式は、Ａn-1とＡn-2が基本対称式で表せるならＡnも基本対称式で表すことができるということを表しています。
そこで、ｎ＝１と２の場合を調べてみると、
Ａ1＝ｘ＋ｙ
Ａ2＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙ）^2－２ｘｙ （２）
と両者とも基本対称式で表すことができます。
したがって、Ａnは基本対称式で表すことができることが判りました。
ここで試しに
ｘ＋ｙ＝１、ｘｙ＝－１ のときの ←（（１）の漸化式が簡単になるように選びました）
Ａ10＝ｘ^10＋ｙ^10
の値を求めてみます。
まず、（２）から
Ａ1＝ｘ＋ｙ＝１
Ａ2＝（ｘ＋ｙ）^2－２ｘｙ＝１＋２＝３ （３）
です。
次に、（１）にｘ＋ｙ＝１、ｘｙ＝－１を代入すると、
Ａn＝Ａn-1＋Ａn-2 （４）
となります。
そこで（３）（４）から、
Ａ3 ＝Ａ2＋Ａ1＝４
Ａ4 ＝Ａ3＋Ａ2＝７
Ａ5 ＝Ａ4＋Ａ3＝１１
Ａ6 ＝Ａ5＋Ａ4＝１８
Ａ7 ＝Ａ6＋Ａ5＝２９
Ａ8 ＝Ａ7＋Ａ6＝４７
Ａ9 ＝Ａ8＋Ａ7＝７６
Ａ10 ＝Ａ9＋Ａ8＝１２３
と簡単に、Ａ10＝ｘ^10＋ｙ^10 を計算することができました。
次に、これをｘ、ｙを求めてからＡ10を計算してみます。
ｘ、ｙは２次方程式の解と係数の関係から
ｔ^2＋ｔ－１＝０ （５）
の解なので、（５）を解の公式で解いて
ｔ＝（－１±√５）/２
となります。
ここで、
ｘ＝（－１＋√５）/２
ｙ＝（－１－√５）/２
とします。
これらをＡ10に代入すると、
Ａ10＝（（－１＋√５）/２）^10＋（（－１－√５）/２）^10 （６）
です。
ここで、（６）の第１、２項を２項定理で展開すると、それぞれ
（（－１＋√５）/２）^10＝10Ｃ0・ａ^10＋10Ｃ1・ａ^9・ｂ^1＋10Ｃ2・ａ^8・ｂ^2＋・・・＋10Ｃ0・ｂ^10 （７）
（（－１－√５）/２）^10＝10Ｃ0・ａ^10＋10Ｃ1・ａ^9・（－ｂ）^1＋10Ｃ2・ａ^8・（－ｂ）^2＋・・・＋10Ｃ0・（－ｂ）^10 （８）
となります。ここで、ａ＝－１/２、ｂ＝√５/２としました。
続いて、（７）（８）の辺々を足し合わせると、
Ａ10＝２（10Ｃ0・ａ^10＋10Ｃ2・ａ^8・ｂ^2＋10Ｃ4・ａ^6・ｂ^4＋10Ｃ6・ａ^4・ｂ^6＋10Ｃ8・ａ^2・ｂ^8＋10Ｃ10・ｂ^10） （９）
となります。
（９）にａ＝－１/２、ｂ＝√５/２を代入すると、
Ａ10 ＝２（（１/２）^10＋４５・（１/２）^8・（√５/２）^2＋２１０・（１/２）^6・（√５/２）^4＋２１０・（１/２）^4・（√５/２）^6＋４５・（１/２）^2・（√５/２）^8＋（√５/２）^10）
＝２・（１/２）^10（１＋４５・５＋２１０・２５＋２１０・１２５＋４５・６２５＋３１２５）
＝（１/２）^9（１＋２２５＋５２５０＋２６２５０＋２８１２５＋３１２５）
＝（１/２）^9・６２９７６
＝１２３
と上記の漸化式で求めた値と一致しました。しかし、計算が煩雑で、漸化式を使ったほうが随分簡単なようです。
基本対称式の値が判っていて、ｘ^n＋ｙ^n を計算する場合は、漸化式を使うと簡単だということを頭に入れておくとよいでしょう。
今週末は、夏休み最後の週末なので晴れるとよいのですが、残念ながら、今日から明後日の日曜日まで、曇ったり雨が降ったりの天気が続くようです。
先日２元２次連立方程式の解き方（４）で対称式を取り上げましたが、今回は、ｘ^n＋ｙ^n を基本対称式ｘ＋ｙとｘｙで表すことを調べてみます。
まず、
Ａn＝ｘ^n＋ｙ^n
とします。
すると、
Ａn＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^(n-1)＋ｙ^(n-1)）－ｘ・ｙ^(n-1)－ｙ・ｘ^(n-1)
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^(n-1)＋ｙ^(n-1)）－ｘｙ・ｙ^(n-2)－ｘｙ・ｘ^(n-2)
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^(n-1)＋ｙ^(n-1)）－ｘｙ（ｙ^(n-2)－ｘ^(n-2)）
＝（ｘ＋ｙ）Ａn-1－ｘｙＡn-2 （１）
という漸化式を得ることができます。
この漸化式は、Ａn-1とＡn-2が基本対称式で表せるならＡnも基本対称式で表すことができるということを表しています。
そこで、ｎ＝１と２の場合を調べてみると、
Ａ1＝ｘ＋ｙ
Ａ2＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙ）^2－２ｘｙ （２）
と両者とも基本対称式で表すことができます。
したがって、Ａnは基本対称式で表すことができることが判りました。
ここで試しに
ｘ＋ｙ＝１、ｘｙ＝－１ のときの ←（（１）の漸化式が簡単になるように選びました）
Ａ10＝ｘ^10＋ｙ^10
の値を求めてみます。
まず、（２）から
Ａ1＝ｘ＋ｙ＝１
Ａ2＝（ｘ＋ｙ）^2－２ｘｙ＝１＋２＝３ （３）
です。
次に、（１）にｘ＋ｙ＝１、ｘｙ＝－１を代入すると、
Ａn＝Ａn-1＋Ａn-2 （４）
となります。
そこで（３）（４）から、
Ａ3 ＝Ａ2＋Ａ1＝４
Ａ4 ＝Ａ3＋Ａ2＝７
Ａ5 ＝Ａ4＋Ａ3＝１１
Ａ6 ＝Ａ5＋Ａ4＝１８
Ａ7 ＝Ａ6＋Ａ5＝２９
Ａ8 ＝Ａ7＋Ａ6＝４７
Ａ9 ＝Ａ8＋Ａ7＝７６
Ａ10 ＝Ａ9＋Ａ8＝１２３
と簡単に、Ａ10＝ｘ^10＋ｙ^10 を計算することができました。
次に、これをｘ、ｙを求めてからＡ10を計算してみます。
ｘ、ｙは２次方程式の解と係数の関係から
ｔ^2＋ｔ－１＝０ （５）
の解なので、（５）を解の公式で解いて
ｔ＝（－１±√５）/２
となります。
ここで、
ｘ＝（－１＋√５）/２
ｙ＝（－１－√５）/２
とします。
これらをＡ10に代入すると、
Ａ10＝（（－１＋√５）/２）^10＋（（－１－√５）/２）^10 （６）
です。
ここで、（６）の第１、２項を２項定理で展開すると、それぞれ
（（－１＋√５）/２）^10＝10Ｃ0・ａ^10＋10Ｃ1・ａ^9・ｂ^1＋10Ｃ2・ａ^8・ｂ^2＋・・・＋10Ｃ0・ｂ^10 （７）
（（－１－√５）/２）^10＝10Ｃ0・ａ^10＋10Ｃ1・ａ^9・（－ｂ）^1＋10Ｃ2・ａ^8・（－ｂ）^2＋・・・＋10Ｃ0・（－ｂ）^10 （８）
となります。ここで、ａ＝－１/２、ｂ＝√５/２としました。
続いて、（７）（８）の辺々を足し合わせると、
Ａ10＝２（10Ｃ0・ａ^10＋10Ｃ2・ａ^8・ｂ^2＋10Ｃ4・ａ^6・ｂ^4＋10Ｃ6・ａ^4・ｂ^6＋10Ｃ8・ａ^2・ｂ^8＋10Ｃ10・ｂ^10） （９）
となります。
（９）にａ＝－１/２、ｂ＝√５/２を代入すると、
Ａ10 ＝２（（１/２）^10＋４５・（１/２）^8・（√５/２）^2＋２１０・（１/２）^6・（√５/２）^4＋２１０・（１/２）^4・（√５/２）^6＋４５・（１/２）^2・（√５/２）^8＋（√５/２）^10）
＝２・（１/２）^10（１＋４５・５＋２１０・２５＋２１０・１２５＋４５・６２５＋３１２５）
＝（１/２）^9（１＋２２５＋５２５０＋２６２５０＋２８１２５＋３１２５）
＝（１/２）^9・６２９７６
＝１２３
と上記の漸化式で求めた値と一致しました。しかし、計算が煩雑で、漸化式を使ったほうが随分簡単なようです。
基本対称式の値が判っていて、ｘ^n＋ｙ^n を計算する場合は、漸化式を使うと簡単だということを頭に入れておくとよいでしょう。
