組合せの問題［麻布中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１４年麻布中入試問題で出題された組合せの問題を取り上げます。

問題は、
「決められた何種類かの整数を足し合わせて１つの整数を作る方法を考えます。
例えば、１、２、３のみ用いて５を作る方法は、
　　３＋２、３＋１＋１、２＋２＋１、２＋１＋１＋１、１＋１＋１＋１＋１
の５通り考えられます。ただし、足す順序が異なるだけのものは同じ方法とします。
２、３、５のみを用いて３０を作る方法は全部で何通りあるか答えなさい。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

２をＡ個、３をＢ個、５をＣ個足し合わせて３０を作ることを考えると、
２Ａ＋３Ｂ＋５Ｃ＝３０　　　（★）
Ａ、Ｂ、Ｃは非負整数
が成り立ち、このときのＡ、Ｂ、Ｃの組合せ（Ａ，Ｂ，Ｃ）の個数が答えになります。

まず、（★）を変形してＣの範囲を求めると、
５Ｃ＝３０－２Ａ－３Ｂ≦３０
Ｃ≧６
から、
０≦Ｃ≦６
です。

そこで、Ｃで場合分けして調べていきましょう。

●Ｃ＝０の場合
（★）は、
２Ａ＋３Ｂ＝３０
で、これを変形して、
３Ｂ＝２（１５－Ａ）
です。

このとき、３と２は互いに素なので１５－Ａは３の倍数になることから、Ａ＝０、３、６、９、１２、１５の６通りです。

●Ｃ＝１の場合
（★）は、
２Ａ＋３Ｂ＝２５
で、これを変形して、
３Ｂ＝２５－２Ａ
です。

このとき、２５－２Ａは３の倍数になることから、Ａ＝２、５、８、１１の４通りです。

●Ｃ＝２の場合
（★）は、
２Ａ＋３Ｂ＝２０
で、これを変形して、
３Ｂ＝２（１０－Ａ）
です。

このとき、３と２は互いに素なので１５－Ａは３の倍数になることから、Ａ＝１、４、７、１０の４通りです。

●Ｃ＝３の場合
（★）は、
２Ａ＋３Ｂ＝１５
で、これを変形して、
３Ｂ＝１５－２Ａ
です。

このとき、１５－２Ａは３の倍数になることから、Ａ＝０、３、６の３通りです。

●Ｃ＝４の場合
（★）は、
２Ａ＋３Ｂ＝１０
で、これを変形して、
３Ｂ＝２（５－Ａ）
です。

このとき、３と２は互いに素なので５－Ａは３の倍数になることから、Ａ＝２、５の２通りです。

●Ｃ＝５の場合
（★）は、
２Ａ＋３Ｂ＝５
で、これを変形して、
３Ｂ＝５－２Ａ
です。

このとき、５－２Ａは３の倍数になることから、Ａ＝１の１通りです。

●Ｃ＝６の場合
（★）は、
２Ａ＋３Ｂ＝０
で、これはＡ＝Ｂ＝０のとき成り立つので、１通りです。
です。

以上から、６＋４＋４＋３＋２＋１＋１＝２１通り でこれが答えです。


簡単な問題です。