図形問題（１１）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１１年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「１辺の長さが１の正十二角形の内部に１辺の長さが１の正三角形１６個を下図のように並べた（網掛け部分）。図の５つの頂点を Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ とする。

▲問題図

（１） ２点Ａ、Ｂ間の距離を求めよ。

（２） ２点Ｃ、Ｄ間の距離を求めよ。

（３） 五角形ＡＢＣＤＥの面積を求めよ。」
です。

図１のように、Ａから反時計回りに正十二角形の頂点をＦ、Ｇ、Ｈ、Ｉとし、さらに内部に図の位置にＫをとりましょう。

▲図１．Ａから反時計回りに正十二角形の頂点をＦ、Ｇ、Ｈ、Ｉ、内部にＫをとりました

初めに、直線ＡＨ上にＢがあることと、直線ＤＨ上にＣがあることを示します。

まず、直線ＡＨ上にＢがあることを示します。

ＡＨ//ＦＧで、正十二角形の外角は３０°なので、∠ＡＨＧ＝３０°です。

一方、正十二角形の内角が１５０°から∠ＧＨＩ＝１５０°で、∠ＢＨＩ＝１２０°ですから∠ＢＨＧ＝∠ＧＨＩ－∠ＢＨＩ＝３０°です。

したがって、直線ＡＨと直線ＢＨは一致し、直線ＡＨ上にＢがあることが判りました。

続いて、直線ＤＨ上にＣがあることを示します。

ＡＦ//ＤＨ　　　　　（★）
です。

一方、四角形ＡＨＧＦは等脚台形なので、∠ＦＡＨ＝３０°です。

また、四角形ＨＢＣＫはひし形で、その対角線は角を二等分するので、∠ＢＨＣ＝∠ＡＨＣ＝∠ＢＨＫ/２＝３０°になります。

このとき、∠ＦＡＨと∠ＡＨＫは直線ＡＦと直線ＣＨの錯角になり、これらが等しいのでＡＦ//ＣＨです。

これと（★）から直線ＤＨと直線ＣＨは一致し、直線ＤＨ上にＣがあることが判りました。

それでは（１）に取り掛かりましょう。

図３のように、線分ＡＨの長さは、１辺１の正三角形の高さの２つ分の長さと１辺１の正三角形の辺の１つ分の長さの和なので、

です。

▲図３．２点Ａ、ＢおよびＣ、Ｄの間の距離を計算します

一方、線分ＢＨの長さは、１辺１の正三角形の辺の２つ分の長さなので、
ＢＨ＝１×２＝２
です。

したがって、

から２点Ａ、Ｂ間の距離は、

で、これが答えです。

続いて（２）です。

線分ＤＨの長さは、１辺１の正三角形の辺の１/２の２つ分の長さと１辺１の正三角形の高さ２分の長さと１辺１の正三角形の辺の１つ分の長さの和なので、

です。

一方、線分ＣＨの長さは、１辺１の正三角形の高さの４つ分の長さなので、

です。

したがって、

から２点Ｃ、Ｄ間の距離は、

で、これが答えです。

最後の（３）です。

図４のように、五角形ＡＢＣＤＥを台形ＡＢＣＥと三角形ＥＤＣに分割してそれぞれの面積を計算しましょう。

▲図４．五角形ＡＢＣＤＥを台形ＡＢＣＥと三角形ＥＤＣに分割してそれぞれの面積を計算します

ここで、Ａから直線ＢＣに下ろした垂線の足をＰ、Ｅから直線ＣＤに下ろした垂線の足をＱとします。

初めに台形ＡＢＣＥの面積です。

△ＡＢＰは内角が３０°、６０°、９０°の直角三角形なので、

になります。

したがって、台形ＡＢＣＥの面積は、

です。

次に△ＥＣＤの面積です。

△ＥＤＱは内角が３０°、６０°、９０°の直角三角形なので、

になります。

したがって、△ＥＤＣの面積は、

です。

以上から、五角形ＡＢＣＤＥの面積は、

で、これが答えです。


簡単な問題です。

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