中学生でも解ける東大大学院入試問題（２０４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成３０年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

問題は、
「１辺の長さが１の正方形に内接する正三角形を考える。

（１）上述の正三角形の面積が最大となる場合を図示せよ。

（２）最大となる面積を求めよ。」
です。

図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１の正方形に内接している正三角形の面積を最大にするということです。

そこで図２のように、正三角形の一つの頂点を、正方形の辺上に沿って少しずつ動かしてみましょう。

▲図２．正三角形の一つの頂点を正方形の辺上に沿って少しずつ動かしました

正方形の頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、正三角形の頂点をＰ、Ｑ、Ｒとします。

状態１はＰがＡと一致している場合、状態２はＰＡ＜ＲＤの場合、状態３はＰＡ＝ＲＤの場合、状態４はＲがＤと一致している状態で、この後同様な動きを繰り返します。

ここで、各状態での正三角形の辺の長さＰＲに注目すると、
（状態１のＰＲ）＝（状態４のＰＲ）＞（状態２のＰＲ）＞（状態３のＰＲ）＝１
で、つまり、状態１や４のように正三角形の一つの頂点が正方形の頂点と一致するとき、正三角形の面積は最大になります。

以上から、図３が答えです。

▲図３．（１）の答えです

続いて（２）です。

図４のように ＱＣ＝ｘ と置くと、

と

になります。

▲図４．ＱＣ＝ｘと置きました

△ＰＱＲは正三角形なので、

ですから、

が成り立ちます。

これを整理すると、

になり、これを解いて、

です。

ここで、

から、

で、これが答えです。


楽しい問題です。