因数定理を利用した３次方程式の解き方（数２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

高２の塾生が因数定理の単元で、それを利用した３次式の因数分解や３次方程式を解く演習に取り組んでいました。

例えば、

という３次方程式の解を求める場合、

として、もしｆ（α）＝０となる有理数αがあるならば、それは定数項－６の約数になります。

つまり、αの候補は、±１、±２、±３、±６で、これらを片っ端にｆ（ｘ）に代入し、その値が０になるか調べることになります。

その結果、

と判り、与式の左辺は、

と因数分解できるので、与えられた３次方程式の解は、

になります。（１つの解を見つけ３次式を２次式にし、それを因数分解または解の公式で残りの２つの解を求めるのが一般的です）

さらに３次の項の係数が１でない場合、例えば、

では、

で、ｇ（α）＝０となる有理数αの候補は、

になります。

つまり、αの候補は、±１、±３、±１/２、±３/２、±１/３、±１/４、±３/４、±１/６、±１/１２で、これらのなかからｇ（ｘ）＝０とするものを探すことになります。

この場合、

と判り、与式の左辺は、

と因数分解できるので、与えられた３次方程式の解は、

なります。


計算ミスしないように落ち着いて扱えば簡単です。