「ＢＨが黒体輻射している」というのはホーキングさんの結論でありました。
そうであれば「いまさら何を言っているんだ、お前は」と言われそうであります。
しかしながら、ホーキングさんは放出される粒子が「光子である」とは一言も言っていません。
「なにやらエネルギーをもった粒子であろう」そう主張されているにすぎない様です。
そうしてその粒子の持つエネルギーを数多く観測すれば、そのスペクトルが黒体放射スペクトルと一致する、そう主張しているにすぎません。
そうして今までの議論が何ゆえに「放射される粒子はニュートリノである」と想定して話を進めてきたのか、より一般的に真空の揺らぎで対生成される粒子といえば光子ではないのか、そう言われそうであります。
まあそうなんでありますが、ニュートリノはフェルミオン、光子はボゾンであり、前者は閉じた弦で表され、後者は開いた弦で表されます。
そしてニュートリノのサイズは閉じた弦のサイズ、それはプランク長あたりであろうとされていますが、そのような「大きさ」を想定する事が可能であります。
他方で光子というのは「波長というサイズ」を持つ事は、これもまた周知のことでありましょう。
それゆえに顕微鏡の分解能はその顕微鏡が使用している波の波長程度が限界となります。
さて、ＢＨもホライズンの直径というサイズを持っています。
このサイズがプランク長未満になると、フェルミオンはＢＨの中に飛び込めない、「そこで一応の準安定に到達する」と言うのが当方の主張でした。
同様に光子に対してもその波長サイズがＢＨに入れるかどうか、それを決める要因になっていると想定するのは妥当な事であります。
現にベッケンシュタインさんはＢＨの直径サイズの波長をもった光子がＢＨに入る事でＢＨのホライズン表面積がＬｐ＾２程増加する、そしてそれがＢＨが情報を蓄積する際の最小単位である、と主張されたのでした。
そうしてＢＨの直径よりも大きな波長をもった光子がＢＨの中に入る状況、というものは、確率的にはゼロと言う事ではないでしょうが、相当に起こりにくい現象であろうという事は想定できます。
さてそうであれば、ここではベッケンシュタインさんに同意し、「ＢＨに入れる光の波長はＢＨホライズンの直径が上限である」と想定し、話を進める事とします。
質量ＭのＢＨのホライズン半径ＲｓはＲｓ＝２＊G*M/C^２ .でした。
直径が波長λになりますからλ＝４＊G*M/C^２ です。
その時の光の周波数νはν＝Ｃ/λ=C/(４＊G*M/C^２)=C^３/(４＊G*M)です。.
そしてその時のＢＨのホーキング温度ＴはＴ＝ｈ＊C^3/(8＊pi＊Ｋｂ＊G＊M)。
プランク則よりその温度の時の最も多く放出される光子の振動数νpは （生ｈ）＊νp = ２．８２＊Ｋｂ＊Ｔから
νp＝（２．８２＊Ｋｂ＊Ｔ）/(生ｈ）
生ｈ＝ｈ＊２＊Piを代入して
νp＝（２．８２＊Ｋｂ＊Ｔ）/(ｈ＊２＊Pi）
上式にＴ＝ｈ＊C^3/(8＊pi＊Ｋｂ＊G＊M)を代入して整理すると
νp＝（２．８２＊Ｃ＾３）/(16＊Pi^2＊G＊M)
次にνがνpの何倍になっているか調べます。
レシオＲはＲ＝ν/νp=（C^３/(４＊G*M)）/(（２．８２＊Ｃ＾３）/(16＊Pi^2＊G＊M))
R=(４*Pi^２)/２．８２＝１３．９９９４２≒１４
そういうわけで、ＢＨが受け入れ可能な光子の振動数はＢＨのホーキング温度Ｔで計算される黒体放射スペクトルのピーク周波数νpの１４倍以上からである、と言う事が分かるのでした。
これはつまり「ＢＨは光に対してはローカットフィルターになっている」と言う事であります。
そうして、ＢＨが光を吸収してはじめてＢＨは反対方向への光の放射が可能になるのですから、放射される光のスペクトルは黒体放射スペクトルとはまるで違うものになる、と言う事が分かります。
さてここでプランクの放射則を簡略化した式（ｈとＫｂを１とし、温度を１００とした式）x^3/(e^(x/100)-1)を使います。（注１）
ここでｘは振動数を表しています。
そしてここでもWolframを使います。＜－－リンク
プロットを選びます。
「x^3/(e^(x/100)-1) ,０＜ｘ＜1500」＜－－こんな風に書いて入力（コピペ）するとスペクトルグラフが出てきます。
このグラフのピークは「x^3/(e^(x/100)-1) の極大値」と書けば出てきます。
グラフにカーソルを合わせて２８２がピークである事を確かめましょう。
Wolframの「例」に戻って積分ーー＞定積分を選びます。
「0から1500の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) を積分」しますと６．４９２６７＊１０＾８が答えです。
「0から無限の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) を積分」で６．４９３９４＊１０＾８。
さて問題の１４倍ではＸ＝２８２＊１４＝3948
「3948から無限の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) を積分」では０．００００４７４８７９。
実は光の振動数は上限がありそうですが、まあ一応それはここでは無視しています。
そうして問題は「3948から無限の範囲」の光子が発生する確率ですね。
それは母数が６．４９３９４＊１０＾８ですから、それで割ってやればよろしい。
Ａｎｓ＝０．００００４７４８７９/(６．４９３９４＊１０＾８)
Ａｎｓ＝7.31*10^-14=0.0000000000000731
さて、光はＢＨから出てきそうですが、それは従来予想された頻度よりも随分と低い状況の様です。
ただしピーク周波数の１４倍以上のエネルギーを持っていますから、それを考慮しますとエネルギーの放射効率⊿Ｅｒは⊿Ｅｒ＝（7.31*10^-14）＊１４～２０程度かと思われます。
最大予測値の２０で見積もって
⊿Ｅｒ＝（7.31*10^-14）＊２０＝１．４６＊１０＾－１２＝0.00000000000146程度かと。
それはつまりＢＨの寿命は放出される粒子が光子のみであるとすると、放出粒子をフェルミオンと想定して計算した場合の１/0.00000000000146倍に伸びる、と言う事であります。
さて従来のＢＨの寿命式はこうでした。
ｔ＝（8.4１E-17）＊Ｍ＾３（Ｓｅｃ）
この式ですとＭ＝２５００００Ｋｇ（２５０トン）に到達してから寿命まではｔ＝１．３１４ｓｅｃです。（注２）
これが前回まで提案してきた「多層の仮想粒子発生モデル」ですとほぼ１０倍のｔ＝１３．１４ｓｅｃに伸びます。
さらにＢＨが放出する粒子は光子のみである、とすると寿命は上記の６．８５＊１０＾１１倍に伸びて２９．１万年程となります。
そう言う訳で、ＢＨは確かに光子は放出しそうですが、なかなかそれは難しい事である、と言う事が分かるのでありました。
（イトウ 2019年４月３日）
注１
ここでは温度を１００にしていますが、この温度を１０００にするとピークのＸが２８２０となりその１４倍の値が３９４８０となり、無限大までの積分の値が変わってきますがそれと同じようにゼロから無限大までの積分の値も変化し、その結果、必要なレシオの値、確率の値は一定に保たれます。
そうしてそれが「プランク則のグラフの形は温度には寄らない」と言う意味になります。
注２
ＢＨが光子のみを放出と言う事で計算すると、最後の１秒で１２Ｋｇの質量が光子（γ線）に変わります。
それは１．０８Ｅ＋１８（Ｊ）程度でありＴＮＴ換算で２５８メガトン、水爆４個程度に相当する爆発が起こりそうです。
ちなみに最後の瞬間から２年前の１日間ではＴＮＴ換算で６４４トンのエネルギーがγ線に変換されます。
それは２．７＊１０＾１２（Ｊ）/日＝３１２００ＫＷ。
一般世帯７８００軒相当のエネルギーになります。
そうであれば、ＢＨの蒸発の観測、というのはこの辺りの状況が限界かと思われます。
その時のＢＨ質量は４７８０Ｋｇ（車３台分程度），ホライズン半径は７．０９９＊１０＾－２４（ｍ）。
陽子半径が８．７５＊１０＾－１６（ｍ）ですから、まあＢＨというものはいずれにせよ大変なしろものではあります。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
http://archive.fo/yjfmx
http://archive.fo/yVWjz
そうであれば「いまさら何を言っているんだ、お前は」と言われそうであります。
しかしながら、ホーキングさんは放出される粒子が「光子である」とは一言も言っていません。
「なにやらエネルギーをもった粒子であろう」そう主張されているにすぎない様です。
そうしてその粒子の持つエネルギーを数多く観測すれば、そのスペクトルが黒体放射スペクトルと一致する、そう主張しているにすぎません。
そうして今までの議論が何ゆえに「放射される粒子はニュートリノである」と想定して話を進めてきたのか、より一般的に真空の揺らぎで対生成される粒子といえば光子ではないのか、そう言われそうであります。
まあそうなんでありますが、ニュートリノはフェルミオン、光子はボゾンであり、前者は閉じた弦で表され、後者は開いた弦で表されます。
そしてニュートリノのサイズは閉じた弦のサイズ、それはプランク長あたりであろうとされていますが、そのような「大きさ」を想定する事が可能であります。
他方で光子というのは「波長というサイズ」を持つ事は、これもまた周知のことでありましょう。
それゆえに顕微鏡の分解能はその顕微鏡が使用している波の波長程度が限界となります。
さて、ＢＨもホライズンの直径というサイズを持っています。
このサイズがプランク長未満になると、フェルミオンはＢＨの中に飛び込めない、「そこで一応の準安定に到達する」と言うのが当方の主張でした。
同様に光子に対してもその波長サイズがＢＨに入れるかどうか、それを決める要因になっていると想定するのは妥当な事であります。
現にベッケンシュタインさんはＢＨの直径サイズの波長をもった光子がＢＨに入る事でＢＨのホライズン表面積がＬｐ＾２程増加する、そしてそれがＢＨが情報を蓄積する際の最小単位である、と主張されたのでした。
そうしてＢＨの直径よりも大きな波長をもった光子がＢＨの中に入る状況、というものは、確率的にはゼロと言う事ではないでしょうが、相当に起こりにくい現象であろうという事は想定できます。
さてそうであれば、ここではベッケンシュタインさんに同意し、「ＢＨに入れる光の波長はＢＨホライズンの直径が上限である」と想定し、話を進める事とします。
質量ＭのＢＨのホライズン半径ＲｓはＲｓ＝２＊G*M/C^２ .でした。
直径が波長λになりますからλ＝４＊G*M/C^２ です。
その時の光の周波数νはν＝Ｃ/λ=C/(４＊G*M/C^２)=C^３/(４＊G*M)です。.
そしてその時のＢＨのホーキング温度ＴはＴ＝ｈ＊C^3/(8＊pi＊Ｋｂ＊G＊M)。
プランク則よりその温度の時の最も多く放出される光子の振動数νpは （生ｈ）＊νp = ２．８２＊Ｋｂ＊Ｔから
νp＝（２．８２＊Ｋｂ＊Ｔ）/(生ｈ）
生ｈ＝ｈ＊２＊Piを代入して
νp＝（２．８２＊Ｋｂ＊Ｔ）/(ｈ＊２＊Pi）
上式にＴ＝ｈ＊C^3/(8＊pi＊Ｋｂ＊G＊M)を代入して整理すると
νp＝（２．８２＊Ｃ＾３）/(16＊Pi^2＊G＊M)
次にνがνpの何倍になっているか調べます。
レシオＲはＲ＝ν/νp=（C^３/(４＊G*M)）/(（２．８２＊Ｃ＾３）/(16＊Pi^2＊G＊M))
R=(４*Pi^２)/２．８２＝１３．９９９４２≒１４
そういうわけで、ＢＨが受け入れ可能な光子の振動数はＢＨのホーキング温度Ｔで計算される黒体放射スペクトルのピーク周波数νpの１４倍以上からである、と言う事が分かるのでした。
これはつまり「ＢＨは光に対してはローカットフィルターになっている」と言う事であります。
そうして、ＢＨが光を吸収してはじめてＢＨは反対方向への光の放射が可能になるのですから、放射される光のスペクトルは黒体放射スペクトルとはまるで違うものになる、と言う事が分かります。
さてここでプランクの放射則を簡略化した式（ｈとＫｂを１とし、温度を１００とした式）x^3/(e^(x/100)-1)を使います。（注１）
ここでｘは振動数を表しています。
そしてここでもWolframを使います。＜－－リンク
プロットを選びます。
「x^3/(e^(x/100)-1) ,０＜ｘ＜1500」＜－－こんな風に書いて入力（コピペ）するとスペクトルグラフが出てきます。
このグラフのピークは「x^3/(e^(x/100)-1) の極大値」と書けば出てきます。
グラフにカーソルを合わせて２８２がピークである事を確かめましょう。
Wolframの「例」に戻って積分ーー＞定積分を選びます。
「0から1500の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) を積分」しますと６．４９２６７＊１０＾８が答えです。
「0から無限の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) を積分」で６．４９３９４＊１０＾８。
さて問題の１４倍ではＸ＝２８２＊１４＝3948
「3948から無限の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) を積分」では０．００００４７４８７９。
実は光の振動数は上限がありそうですが、まあ一応それはここでは無視しています。
そうして問題は「3948から無限の範囲」の光子が発生する確率ですね。
それは母数が６．４９３９４＊１０＾８ですから、それで割ってやればよろしい。
Ａｎｓ＝０．００００４７４８７９/(６．４９３９４＊１０＾８)
Ａｎｓ＝7.31*10^-14=0.0000000000000731
さて、光はＢＨから出てきそうですが、それは従来予想された頻度よりも随分と低い状況の様です。
ただしピーク周波数の１４倍以上のエネルギーを持っていますから、それを考慮しますとエネルギーの放射効率⊿Ｅｒは⊿Ｅｒ＝（7.31*10^-14）＊１４～２０程度かと思われます。
最大予測値の２０で見積もって
⊿Ｅｒ＝（7.31*10^-14）＊２０＝１．４６＊１０＾－１２＝0.00000000000146程度かと。
それはつまりＢＨの寿命は放出される粒子が光子のみであるとすると、放出粒子をフェルミオンと想定して計算した場合の１/0.00000000000146倍に伸びる、と言う事であります。
さて従来のＢＨの寿命式はこうでした。
ｔ＝（8.4１E-17）＊Ｍ＾３（Ｓｅｃ）
この式ですとＭ＝２５００００Ｋｇ（２５０トン）に到達してから寿命まではｔ＝１．３１４ｓｅｃです。（注２）
これが前回まで提案してきた「多層の仮想粒子発生モデル」ですとほぼ１０倍のｔ＝１３．１４ｓｅｃに伸びます。
さらにＢＨが放出する粒子は光子のみである、とすると寿命は上記の６．８５＊１０＾１１倍に伸びて２９．１万年程となります。
そう言う訳で、ＢＨは確かに光子は放出しそうですが、なかなかそれは難しい事である、と言う事が分かるのでありました。
（イトウ 2019年４月３日）
注１
ここでは温度を１００にしていますが、この温度を１０００にするとピークのＸが２８２０となりその１４倍の値が３９４８０となり、無限大までの積分の値が変わってきますがそれと同じようにゼロから無限大までの積分の値も変化し、その結果、必要なレシオの値、確率の値は一定に保たれます。
そうしてそれが「プランク則のグラフの形は温度には寄らない」と言う意味になります。
注２
ＢＨが光子のみを放出と言う事で計算すると、最後の１秒で１２Ｋｇの質量が光子（γ線）に変わります。
それは１．０８Ｅ＋１８（Ｊ）程度でありＴＮＴ換算で２５８メガトン、水爆４個程度に相当する爆発が起こりそうです。
ちなみに最後の瞬間から２年前の１日間ではＴＮＴ換算で６４４トンのエネルギーがγ線に変換されます。
それは２．７＊１０＾１２（Ｊ）/日＝３１２００ＫＷ。
一般世帯７８００軒相当のエネルギーになります。
そうであれば、ＢＨの蒸発の観測、というのはこの辺りの状況が限界かと思われます。
その時のＢＨ質量は４７８０Ｋｇ（車３台分程度），ホライズン半径は７．０９９＊１０＾－２４（ｍ）。
陽子半径が８．７５＊１０＾－１６（ｍ）ですから、まあＢＨというものはいずれにせよ大変なしろものではあります。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
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