（01）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
２ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
３ （５） Ｐ→ Ｑ ４含意の定義（Ⅱ）
２３ （６） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ３５＆Ｉ
２ （７）～（～Ｐ∨ Ｑ） ４６ＲＡＡ
２ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
２ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ２３９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３（４） Ｐ ３＆Ｅ
１ （５） Ｐ １１３４∨Ｅ
（６）（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ １５ＣＰ
然るに、
（02）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふ「式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
４ （４） ～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） Ａ
４ （５） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ ４含意の定義（Ⅰ）
３４ （６） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）＆
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ３５＆Ｉ
３ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ４６ＲＡＡ
３ （８） （（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
３ （９） Ｐ→ Ｑ ８＆Ｅ
３ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ９含意の定義（Ⅰ）
３ （イ） ～Ｐ ８＆Ｅ
３ （ウ） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） アイ＆Ｉ
３ （エ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） ウ、ド・モルガンの法則
３ （オ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ エ∨Ｉ
カ（カ） Ｐ Ａ
カ（キ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ カ∨Ｉ
１ （ク） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １３オカキ∨Ｅ
１ （ケ） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ ク含意の定義（Ⅱ）
１ （〃）（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
２ （３） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） Ａ
２ （４） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
２ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４交換法則
２ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ５＆Ｅ
２ （７） Ｐ→ Ｑ ６含意の定義（Ⅰ）
８ （８） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ Ａ
２８ （９） Ｐ ７８ＭＰＰ
２ （ア） ～Ｐ ５＆Ｅ
２８ （イ） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
２ （ウ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ８イＲＡＡ
２ （エ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｐ Ａ
オ（カ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ オ∨Ｉ
１ （キ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ２３エオカ∨Ｅ
１ （ク） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ キ含意の定義（含意の定義Ⅱ）
１ （〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
従って、
（04）により、
（05）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
（06）
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ∨ （Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
１２ （３）～（Ｐ∨ （Ｐ＆～Ｑ）） １２ＭＴＴ
１２ （４） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１２ （５） ～Ｐ ４＆Ｅ
１２ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ４＆Ｅ
１２ （７） ～Ｐ∨ Ｑ ６ド・モルガンの法則
８ （８） ～Ｐ Ａ
１２８ （９） （～Ｐ＆～Ｐ） ５８＆Ｉ
１２８ （ア）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ＆Ｑ） ９∨Ｉ
イ （イ） Ｑ Ａ
１２ イ （ウ） ～Ｐ＆Ｑ ５イ＆Ｉ
１２ イ （エ）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ＆Ｑ） ウ∨Ｉ
１２ （オ）（～Ｐ＆～Ｐ）∨（～Ｐ＆Ｑ） ７８アイエ∨Ｅ（分配法則を、証明した。）
カ （カ） ～Ｐ＆～Ｐ Ａ
カ （キ） ～Ｐ カ＆Ｅ
カ （ク） ～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ） キ∨Ｉ
ケ（ケ） （～Ｐ＆Ｑ） Ａ
ケ（コ） ～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ） ケ∨Ｉ
１２ （サ） ～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ） オカクケコ∨Ｅ
１ （シ） ～Ｐ→（～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ）） １サＣＰ
１ （ス）Ｐでないならば（Ｐでないか（ＰでなくてＱである））。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
③ ～Ｐ→（～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ））
に於いて、
②＝③ は「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
② （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
③ ～Ｐ→（～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ））≡Ｐでないならば（Ｐでないか（ＰでなくてＱである））。
といふ「３つ式」は「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
であるとして、
Ｐ＝真 であれば、
②（真∨（真＆～Ｑ））→真
然るに、
（10）
②（真∨（真＆～Ｑ））→真
であれば、
②（真∨（真＆～真））→真
であっても、
②（真∨（真＆～偽））→真
であっても、いづれにせよ、
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
は、「真」である。
（11）
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
であるとして、
Ｐ＝偽 であれば、
②（偽∨（偽＆～Ｑ））→偽
然るに、
（12）
②（偽∨（偽＆～Ｑ））→偽
であれば、
②（偽∨（偽＆～真））→偽
であっても、
②（偽∨（偽＆～偽））→偽
であっても、いづれにせよ、
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
は、「真」である。
従って、
（08）～（12）により、
（13）
② （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
③ ～Ｐ→（～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ））≡Ｐでないならば（Ｐでないか（ＰでなくてＱである））。
といふ「２つ式」は、
② Ｐであるならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである。
③ Ｐでないならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐでない。
といふ、「極めて、当然」なことしか、述べてゐない。
従って、
（08）（13）により、
（14）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
② （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
③ ～Ｐ→（～Ｐ∨（～Ｐ＆Ｑ））≡Ｐでないならば（Ｐでないか（ＰでなくてＱである））。
といふ「３つ式」は
① Ｐであるならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである。
② Ｐであるならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである。
③ Ｐでないならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐでない。
といふ、「極めて、当然」なことしか、述べてゐない。
然るに、
（15）
① Ｐであるならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである。
といふことは、要するに、
① ＰであるならばＰである（Ｐ→Ｐ）。
といふことである。
然るに、
（16）
① ＰであるならばＰである（Ｐ→Ｐ）。
といふのは、「同一律（law of identity）」である。
然るに、
（17）
（ⅳ）Ｐ→Ｐ├ ～Ｐ∨Ｐ
１ （１） Ｐ→ Ｐ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２（５） Ｐ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｐ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｐ ７ＤＮ
１ （９） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
（ⅴ）～Ｐ∨Ｐ├ Ｐ→Ｐ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｐ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｐ Ａ
２ （８） ～Ｐ Ａ
２ ７ （９） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｐ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｐ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｐ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｐ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｐ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｐ ウクＣＰ
従って、
（17）により、
（18）
④ Ｐ→Ｐ（同一律）
⑤ ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
に於いて、
④＝⑤ である。
従って、
（19）
「同一律」と「排中律」は「等価」である。
従って、
（20）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「パースの法則」は、「見た目」としては、
① Ｐ→ Ｐ（同一律）に近いが、
① ～Ｐ∨ Ｐ（排中律）とも「等価」である。
然るに、
（21）
パースの法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。
従って、
（20）（21）により、
（22）
どうして、ウィキペディアでは、
「（パースの法則は）含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。」であって、
「（パースの法則は）含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における同一律であると考えることもできる。」ではないのか、といふことが、私には、理解できない。
（01）
① 無不知劉氏者＝
① 無［不〔知（劉氏）〕者〕］⇒
① ［〔（劉氏）知〕不者〕］無＝
① ［〔（劉氏を）知ら〕不る者〕］無し＝
① 誰もが皆、劉氏を知ってゐる（Everybody knows 劉氏）。
然るに、
（02）
① 不〔知（劉氏）〕⇒
① 〔（劉氏を）知ら〕ず。
ではなく、
① 不〔知（我）〕⇒
① 〔（我を）知ら〕ず。
のやうに、
①「他動詞」の「目的語」が「我（代名詞）」である場合は、例外（論語、学而、八）は有るものの、
① 不（我知）⇒
① （我を知ら）ず。
といふ「語順」になる。
従って、
（02）により、
（03）
① 無不我好者＝
① 無〔不（我好）者〕⇒
① 〔（我を好か）ざる者〕無し＝
① 誰もが皆、我のことを好きである（Everybody likes me）。
然るに、
（04）
② 我無事不知＝
② 我無〔事不（知）〕⇒
② 我〔事（知）不〕無＝
② 我に〔事として（知ら）ざるは〕無し＝
② 私には、知らない事が無い（どんな事でも知ってゐる）。
（05）
③ 彼非不説子之道者＝
③ 彼非［不〔説（子之道）〕者］⇒
③ 彼［〔（子之道）説〕不者］非＝
③ 彼は［〔（子の道）を説ば〕ざる者に］非ず＝
③ 彼は、先生が説く道を、嬉しく思はない者ではない。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
「漢文訓読」に於いて、
「否定の否定（二重否定）」は、「肯定」である。
然るに、
（07）
このような用法は、特に英語で問題になる。たとえば、Nobody don't like me. (誰も僕を好いてくれない)や I don't know nothing. (僕は何も知らない) などがこれにあたる。
このような言い方は2つの否定を意味する語句が対応しあって1つの否定表現を形作るもので、英語は本来はこのように否定文では否定形の語を一貫して使う否定呼応を用いる言語であった。すなわち、否定呼応を用いる言語では、二重に否定語を用いても単純にひとつの否定表現を作るだけであり、論理学的に見た場合は単なる否定である。しかし、否定呼応を用いない言語では、二重に否定語を用いることは論理学的に見るところの「否定」の否定であり、肯定である（ウィキペディア：二重否定）。
従って、
（04）～（07）により、
（08）
① 無不我好者＝誰もが皆、我のことを好きである（Everybody likes me）。
② 我無事不知＝私には、知らない事が無い（I know everything）。
に対して、「英語」の場合は、
① Nobody don't like me＝誰もが皆、我のことを好きではない。
② I don't know nothing＝僕は何も知らない。
といふ、ことになる。
然るに、
（09）
① Nobody don't like me ＝誰も僕を好いてくれない。
① Anybody doesn't like me＝誰も僕を好いてくれない。
② I don't know nothing ＝僕は何も知らない。
② I don't know anything ＝僕は何も知らない。
従って、
（09）により、
（10）
① Nobody don't like me ＝誰も僕を好いてくれない。
① Anybody doesn't like me＝誰も僕を好いてくれない。
② I don't know nothing ＝僕は何も知らない。
② I don't know anything ＝僕は何も知らない。
であるため、
① Nobody・nothing は、
② Anybody・anything に、「等しい」。
然るに、
（11）
① Nobody・nothing は、
② Anybody・anything に、「等しく」ない。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
① Nobody don't like me＝誰も僕を好いてくれない。
② I don't know nothing＝僕は何も知らない。
に於いて、「矛盾」してゐるのは、「漢文」ではなく、「英語」である。
然るに、
（13）
① Nobody don't like me.
といふ「４語の英語」を、
① No body not like me.
といふ「５語の英語」として、「漢字」に「置き換へ」ると、
① 無 人 不 好 我。
といふ「漢文」になる。
然るに、
（14）
① 無人不好我＝
① 無［人不〔好（我）〕］⇒
① ［人〔（我）好〕不］無＝
① ［人にして〔（我を）好ま〕不るは］無し＝
① 誰もが皆、我のことを好きである（Everybody likes me）。
従って、
（03）（14）により、
（15）
① 無〔不（我好）者〕。
① 無［人不〔好（我）〕］。
に於いて、両方とも、
① 誰もが皆、我のことを好きである（Everybody likes me）。
① 誰もが皆、我のことを好きである（Everybody likes me）。
である。
然るに、
（16）
管到というのは「上の語が、下のことばのどこまでかかるか」ということである。なんことはない。諸君が古文や英語の時間でいつも練習している、あの「どこまでかかるか」である。漢文もことばである以上、これは当然でてくる問題である（二畳庵主人、漢文法基礎、1984年、３８９頁）。
従って、
（16）により、
（17）
① 無［人不〔好（我）〕］。
であるといふことは、
① 無 人 不 好 我。
に於いて、
① 無
といふ「漢字」は、
① 人 不 好 我。
といふ「４つの漢字」に、「管到（Scope）」してゐる。
然るに、
（18）
① 無 人
ではなく、
① 無-人
であるとすると、
① 無［人不〔好（我）〕］。
といふ「管到（Scope）」ではなく、
① 無‐人不〔好（我）〕。
といふ「管到（Scope）」が、有ることになる。
然るに、
（19）
① 無人不好我＝
① 無‐人不〔好（我）〕。
であるならば、
① 無人不好我＝
① 無［人不〔好（我）〕］⇒
① ［人〔（我）好〕不］無＝
① ［人にして〔（我を）好ま〕不るは］無し＝
① 誰もが皆、我のことを好きである（Everybody likes me）。
といふ「漢文訓読」は、成立しないし、
（20）
① 無 人不好我＝人にして我を好ま不るは無し。
と読まずに、
① 無-人不好我＝無人、我を好まず。
と読んでしまふと、
① 誰もが皆、我のことを好きである（Everybody likes me）。
といふ「意味」が、「不安定」になる。
従って、
（13）（18）（19）（20）により、
（21）
① Nobody don't like me.
といふ「英語」が、
① No body not like me.
といふ「意味」ではなく、飽く迄も、
① No-body not like me.
といふ「意味」であるならば、
① 誰もが皆、我のことを好きである（Everybody likes me）。
といふ「意味」が、「不安定」になる。
といふことは、分からないでも、ない。
然るに、
（22）
① Nobody don't like me.
① 無-人不好我＝無人、我を好まず。
であっても、
① Anybody doesn't like me.
ではなく、
① 誰もが皆、我のことを好きである（Everybody likes me）。
である。といふことには、「変り」が無い。
従って、
（22）により、
（23）
しかし18世紀にきわめて人工的・作為的性質の強い規範文法が整備された際、否定呼応という言語現象に無理解な学者たちは、論理学規範を言語という特殊条件を考慮せずに適応し、「否定語を2回使うということは否定の否定を意味し、論理的に肯定である」と主張し、英語の否定呼応を抹殺した。とりわけ聖職者ロバート・ラウスが 1762 年に出版した文法書 A Short Introduction to English Grammar with Critical Notes は否定呼応を否定の否定であるとみなし（今日の言語学的観点からすれば『誤解』し）、この表現を非文法的な言い方の最たるものとしている。これにより英語は否定呼応を用いる言語から緩叙法を用いる言語へと半ば強制的に変換させられた（ウィキペディア：二重否定）。
とは言ふものの、
① Nobody don't like me.
① 無-人不好我＝無人、我を好まず。
であっても、固より、
① 誰もが皆、我のことを好きである（Everybody likes me）。
といふことには、「変り」が無い。
といふ事実が無かったとしたら、聖職者ロバート・ラウスであっても、「否定呼応を否定の否定である」とは、みなさなかった。
と、すべきである。
（01）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁と、原文）
ｃｆ.
ただし、「E.J.レモン、論理学初歩」には、「練習問題の解答」は、載ってゐません。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
２ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
３ （５） Ｐ→ Ｑ ４含意の定義（Ⅱ）
２３ （６） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ３５＆Ｉ
２ （７）～（～Ｐ∨ Ｑ） ４６ＲＡＡ
２ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
２ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ２３９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３（４） Ｐ ３＆Ｅ
１ （５） Ｐ １１３４∨Ｅ
（６）（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ １５ＣＰ
然るに、
（03）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（02）（03）により、
（04）
①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
②├（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふ「連式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
４ （４） ～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） Ａ
４ （５） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ ４含意の定義（Ⅰ）
３４ （６） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）＆
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ３５＆Ｉ
３ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ４６ＲＡＡ
３ （８） （（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
３ （９） Ｐ→ Ｑ ８＆Ｅ
３ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ９含意の定義（Ⅰ）
３ （イ） ～Ｐ ８＆Ｅ
３ （ウ） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） アイ＆Ｉ
３ （エ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） ウ、ド・モルガンの法則
３ （オ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ エ∨Ｉ
カ（カ） Ｐ Ａ
カ（キ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ カ∨Ｉ
１ （ク） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １３オカキ∨Ｅ
１ （ケ） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ ク含意の定義（Ⅱ）
１ （〃）（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
２ （３） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） Ａ
２ （４） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
２ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４交換法則
２ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ５＆Ｅ
２ （７） Ｐ→ Ｑ ６含意の定義（Ⅰ）
８ （８） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ Ａ
２８ （９） Ｐ ７８ＭＰＰ
２ （ア） ～Ｐ ５＆Ｅ
２８ （イ） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
２ （ウ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ８イＲＡＡ
２ （エ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｐ Ａ
オ（カ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ オ∨Ｉ
１ （キ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ２３エオカ∨Ｅ
１ （ク） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ キ含意の定義
１ （〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
従って、
（05）により、
（06）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②├（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふ「連式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
１ （ウ） Ｐ→ Ｑ イ含意の定義（Ⅰ）
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅴ）
１ （１） ～（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６ （６） Ｑ Ａ
６ （７） Ｐ∨ Ｑ ６∨Ｉ
１ ６ （８） ～（Ｐ∨ Ｑ）＆
（Ｐ∨ Ｑ） １７＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア） ～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
１ （４） ～Ｐ １＆Ｅ
１ ３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １３ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
１ （８） ～Ｑ １＆Ｅ
１ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆
１ （エ） ～（Ｐ∨Ｑ） ２ウＲＡＡ
従って、
（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって Ｑでない。といふことはない。
② Ｐ→ Ｑ ≡Ｐならば、 Ｑである。
③ ～Ｐ∨ Ｑ ≡Ｐでないか、Ｑである。
④ Ｐ→ Ｑ ≡Ｐならば、 Ｑである。
⑤ ～（Ｐ∨ Ｑ）≡Ｐであるか、Ｑである。といふことはない。
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ ≡Ｐでなくて、Ｑでない。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「含意の定義（Ⅰ）」 とする。
③＝④ であって、この「等式」を「含意の定義（Ⅱ）」 とする。
⑤＝⑥ であって、この「等式」を「ド・モルガンの法則」とする。
然るに、
（10）
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ「１０個の規則」を、「原始的規則（primitive rules）」といふ。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved,
①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②├（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふ「連式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
といふことが、「証明」された。
然るに、
（12）
５ 次の連式を、原始的規則のみによって証明せよ
５ Prove the following sequent by primitive rules alone:
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「問題」であるならば、
〔解答〕は、
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ Ａ
２ （３） （Ｐ→Ｑ） ２＆Ｅ
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｐ ２６ＲＡＡ
１ （８） Ｐ ７ＤＮ
１ （９） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ（含意の定義Ⅱを、証明した）。
ア （ア） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
イ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
ウエ （オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
イウエ （カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
イウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
イウ （ク） Ｑ キＤＮ
イ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ（含意の定義Ⅰを、証明した）。
アイ （コ） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） アケ＆Ｉ
ア （サ）～～（Ｐ＆～Ｑ） イコＲＡＡ
ア （シ） Ｐ＆～Ｑ サＤＮ
（ス） Ｐ シ＆Ｅ
セ（セ） Ｐ Ａ
１ （ソ） Ｐ ９アスセセ∨Ｅ
（タ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １クＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ、ことになる。
然るに、
（02）により、
（13）
もう一度、確認すると、
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３（４） Ｐ ３＆Ｅ
１ （５） Ｐ １１３４∨Ｅ
（６）（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ １５ＣＰ
（〃）（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
であって、尚且つ、この場合は、「Ａ、＆Ｅ、∨Ｅ、ＣＰ」といふ「原始的規則（primitive rules）」だけしか、使はれてゐない。
従って、
（03）（12）（13）により、
（14）
５ 原始的規則を用ひて、
５ Using primitive rules,
①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②├（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふ「連式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことが、「証明」された。
然るに、
（08）（09）（10）により、
（15）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって Ｑでない。といふことはない。
② Ｐ→ Ｑ ≡Ｐならば、 Ｑである。
③ ～Ｐ∨ Ｑ ≡Ｐでないか、Ｑである。
④ Ｐ→ Ｑ ≡Ｐならば、 Ｑである。
⑤ ～（Ｐ∨ Ｑ）≡Ｐであるか、Ｑである。といふことはない。
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ ≡Ｐでなくて、Ｑでない。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「含意の定義（Ⅰ）」 とする。
③＝④ であって、この「等式」を「含意の定義（Ⅰ）」 とする。
⑤＝⑥ であって、この「等式」を「ド・モルガンの法則」とする。
場合に、これらの「等式」を「証明」したのは、
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ「原始的規則（primitive rules）」に他ならない。
従って、
（05）（15）により、
（16）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２）～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
であれば、
１ （１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ） Ａ
３（３） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） Ａ
３（４） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ）＆
（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） ３５ＲＡＡ
２ （７） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） ６ＤＮ
１２ （８） Ｐ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ）＆
（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ イＤＮ
といふ風に、書くことによって、『証明』の中で、「含意の定義（Ⅱ）」自体を「証明」することが出来るし、「含意の定義（Ⅰ）」であっても、「ド・モルガンの法則」であっても、『証明』の中で、「証明」を書くことが、出来る。
従って、
（05）（15）（16）により、
（17）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
４ （４） ～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） Ａ
４ （５） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ ４含意の定義（Ⅰ）
３４ （６） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）＆
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ３５＆Ｉ
３ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ４６ＲＡＡ
３ （８） （（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
３ （９） Ｐ→ Ｑ ８＆Ｅ
３ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ９含意の定義（Ⅰ）
３ （イ） ～Ｐ ８＆Ｅ
３ （ウ） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） アイ＆Ｉ
３ （エ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） ウ、ド・モルガンの法則
３ （オ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ エ∨Ｉ
カ（カ） Ｐ Ａ
カ（キ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ カ∨Ｉ
１ （ク） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １３オカキ∨Ｅ
１ （ケ） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ ク含意の定義（Ⅱ）
１ （〃）（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
２ （３） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） Ａ
２ （４） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
２ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４交換法則
２ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ５＆Ｅ
２ （７） Ｐ→ Ｑ ６含意の定義（Ⅰ）
２ （８） ～Ｐ ５＆Ｅ
２ （９） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ７８＆Ｉ
ア （ア） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ Ａ
２ （イ） （Ｐ→ Ｑ） ９＆Ｅ
２ア （ウ） Ｐ アイＭＰＰ
２ （エ） ～Ｐ ９＆Ｅ
２ア （オ） Ｐ＆～Ｐ ウエ＆Ｉ
２ （カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） アオＲＡＡ
２ （キ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ カ∨Ｉ
ク（ク） Ｐ Ａ
ク（ケ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ク∨Ｉ
１ （コ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ １２キクケ∨Ｅ
１ （サ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ コ含意の定義（Ⅱ）
１ （〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ『証明』が行はれた。といふことは、「１０個の原始的規則（10 primitive rules）」で以て、『証明』が行はれた。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（17）により、
（18）
５ 原始的規則のみによって、
５ by primitive rules alone:
①├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②├（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふ「連式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
といふことが、「証明」された。
然るに、
（19）
②（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
に於いて、
①＝② であって、
② は、「当然」である以上、
① は、当然、「当然」である。
然るに、
（21）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「恒真式（トートロジー）」を、「パースの法則」といふ。
従って、
（20）（21）により、
（22）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「少しも、変」ではなく、「極めて、まとも」である。
然るに、
（23）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
従って、
（22）（23）により、
（24）
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）のオーナーの方には、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「少しも、変」ではなく、「極めて、まとも」であると、言ひたいし、
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡（Ｐであるか（ＰであってＱでない））ならばＰである。
といふ「パースの法則」が、どうして、「排中律や二重否定の除去と等価」なのか（？）。
といふことを、「質問」したい。
（01）
⑪ 不不（不Ｐ如Ｑ）≡（Ｐならざるか、もしくはＱに）あらずんば、あらず。
ではなく、「正しく」は、
⑪ 無非（不Ｐ如Ｑ）≡（Ｐならざるか、もしくはＱに）あらざるは、なし。
でなければならない。
といふことは、ここでは、「不問」にする。
（02）
（ⅰ）Ｐ則Ｑ├ 不Ｐ如Ｑ
１ （１） Ｐ則Ｑ Ａ
２ （２） 不（不Ｐ如Ｑ） Ａ
３（３） 不Ｐ Ａ
３（４） 不Ｐ如Ｑ ３如Ｉ
２３（５） 不（不Ｐ如Ｑ）而
（不Ｐ如Ｑ） ２４而Ｉ
２ （６） 不不Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） 不Ｐ如Ｑ ８如Ｉ
１２ （ア） 不（不Ｐ如Ｑ）而
（不Ｐ如Ｑ） ２９而Ｉ
１ （イ）不不（不Ｐ如Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） 不Ｐ如Ｑ イＤＮ
といふ「計算（Propositional calculus）」の中の「漢文（Kanbun）」は、
（ⅰ）
（１） Ｐならば、すなはちＱなり。
（２）（Ｐならざるか、もしくはＱに）あらず。
（３） Ｐならず。
（４） Ｐならざるか、もしくはＱなり。
（５）（Ｐならざるか、もしくはＱに）あらずして、
（Ｐならざるか、もしくはＱなり。）
（６） Ｐならずんばあらず。
（７） Ｐなり。
（８） Ｑなり。
（９） Ｐならざるか、もしくはＱなり。
（ア）（Ｐならざるか、もしくはＱに）あらずして、
（Ｐならざるか、もしくはＱなり。）
（イ）（Ｐならざるか、もしくはＱに）あらずんば、あらず。
（ウ） Ｐならざるか、もしくはＱなり。
といふ風に、「訓読」出来る。
従って、
（02）により、
（03）
（１） Ｐならば、すなはちＱなり。
（２）（Ｐならざるか、もしくはＱに）あらず。
（３） Ｐならず。
（４） Ｐならざるか、もしくはＱなり。
（５）（Ｐならざるか、もしくはＱに）あらずして、
（Ｐならざるか、もしくはＱなり。）
（６） Ｐならずんばあらず。
（７） Ｐなり。
（８） Ｑなり。
（９） Ｐならざるか、もしくはＱなり。
（ア）（Ｐならざるか、もしくはＱに）あらずして、
（Ｐならざるか、もしくはＱなり。）
（イ）（Ｐならざるか、もしくはＱに）あらずんば、あらず。
（ウ） Ｐならざるか、もしくはＱなり。
といふ「日本語」は、
（１） Ｐ則Ｑ
（２） 不（不Ｐ如Ｑ）
（３） 不Ｐ
（４） 不Ｐ如Ｑ
（５） 不（不Ｐ如Ｑ）而
（不Ｐ如Ｑ）
（６） 不不Ｐ
（７） Ｐ
（８） Ｑ
（９） 不Ｐ如Ｑ
（ア） 不（不Ｐ如Ｑ）而
（不Ｐ如Ｑ）
（イ）不不（不Ｐ如Ｑ）
（ウ） 不Ｐ如Ｑ
といふ「漢文」に、「置き換へ」ることが出来る。
然るに、
（04）
（ⅰ）Ｐ則Ｑ├ 不Ｐ如Ｑ
１ （１） Ｐ則Ｑ Ａ
２ （２） 不（不Ｐ如Ｑ） Ａ
３（３） 不Ｐ Ａ
３（４） 不Ｐ如Ｑ ３如Ｉ
２３（５） 不（不Ｐ如Ｑ）而
（不Ｐ如Ｑ） ２４而Ｉ
２ （６） 不不Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） 不Ｐ如Ｑ ８如Ｉ
１２ （ア） 不（不Ｐ如Ｑ）而
（不Ｐ如Ｑ） ２９而Ｉ
１ （イ）不不（不Ｐ如Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） 不Ｐ如Ｑ イＤＮ
といふ「計算」は、「意味」としては、
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
といふ「計算」と、「全く同じ」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
例へば、
（１） Ｐ→Ｑ
（２） ～（～Ｐ∨Ｑ）
（３） ～Ｐ
（４） ～Ｐ∨Ｑ
（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ）
（６） ～～Ｐ
（７） Ｐ
（８） Ｑ
（９） ～Ｐ∨Ｑ
（ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ）
（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）
（ウ） ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式（well-formed formula）」は、
（１） Ｐ則Ｑ
（２） 不（不Ｐ如Ｑ）
（３） 不Ｐ
（４） 不Ｐ如Ｑ
（５） 不（不Ｐ如Ｑ）而
（不Ｐ如Ｑ）
（６） 不不Ｐ
（７） Ｐ
（８） Ｑ
（９） 不Ｐ如Ｑ
（ア） 不（不Ｐ如Ｑ）而
（不Ｐ如Ｑ）
（イ）不不（不Ｐ如Ｑ）
（ウ） 不Ｐ如Ｑ
といふ「漢文（Kanbun）」に「等しい」。
従って、
（06）
例へば、
―「分配法則の証明」―
（ａ） Ｐ而 （Ｑ如Ｒ）├（Ｐ而Ｑ）如（Ｐ而Ｒ）
（ｂ）（Ｐ而Ｑ）如（Ｐ而Ｒ）├ Ｐ而 （Ｑ如Ｒ）
（ｃ） Ｐ如 （Ｑ而Ｒ）├（Ｐ如Ｑ）而（Ｐ如Ｒ）
（ｄ）（Ｐ如Ｑ）而（Ｐ如Ｒ）├ Ｐ如 （Ｑ而Ｒ）
（ａ）
１ （１） Ｐ而（Ｑ如Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ １而Ｅ
１ （３） Ｑ如Ｒ １而Ｅ
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ而Ｑ ２４而Ｉ
１４ （６）（Ｐ而Ｑ）如（Ｐ而Ｒ） ５如Ｉ
７（７） Ｒ Ａ
１ ７（８） Ｐ而Ｒ ２７而Ｉ
１ ７（９）（Ｐ而Ｑ）如（Ｐ而Ｒ） ８如Ｉ
１ （ア）（Ｐ而Ｑ）如（Ｐ而Ｒ） ３４６７９如Ｅ
（ｂ）
１ （１）（Ｐ而Ｑ）如（Ｐ而Ｒ） Ａ
２ （２）（Ｐ而Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ ２而Ｅ
２ （４） Ｑ ２而Ｅ
２ （５） Ｑ如Ｒ ４如Ｉ
２ （６） Ｐ而（Ｑ如Ｒ） ３５而Ｉ
７（７） （Ｐ而Ｒ） Ａ
７（８） Ｐ ７而Ｅ
７（９） Ｒ ７而Ｅ
７（ア） Ｑ如Ｒ ９如Ｉ
７（イ） Ｐ而（Ｑ如Ｒ） ８ア而Ｉ
１ （ウ） Ｐ而（Ｑ如Ｒ） １２６７イＶＥ
（ｃ）
１ （１） Ｐ如（Ｑ而Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ如Ｑ ２如Ｉ
２ （３） Ｐ如Ｒ ２如Ｉ
２ （４）（Ｐ如Ｑ）而（Ｐ如Ｒ） ２３而Ｉ
５（５） Ｑ而Ｒ Ａ
５（６） Ｑ ５而Ｅ
５（７） Ｒ ５而Ｅ
５（８） Ｐ如Ｑ ６如Ｉ
５（９） Ｐ如Ｒ ７如Ｉ
５（ア）（Ｐ如Ｑ）而（Ｐ如Ｒ） ８９而I
１ （イ）（Ｐ如Ｑ）而（Ｐ如Ｒ） １２４５ア如Ｅ
（ｄ）
１ （１） （Ｐ如Ｑ）而（Ｐ如Ｒ） Ａ
１ （２） Ｐ如Ｑ １而Ｅ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４）不不Ｐ ３ＤＮ
３ （５）不不Ｐ如Ｑ ４如Ｉ
３ （６） 不Ｐ則Ｑ ５含意の定義
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８）不不Ｐ如Ｑ ７如Ｉ
７ （９） 不Ｐ則Ｑ ８含意の定義
１ （ア） 不Ｐ則Ｑ ２３６７９如Ｅ
１ （イ） Ｐ如Ｒ Ａ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
ウ （エ） 不不Ｐ ウＤＮ
ウ （オ） 不不Ｐ如Ｒ エ如Ｉ
ウ （カ） 不Ｐ則Ｒ オ含意の定義
キ （キ） Ｒ Ａ
キ （ク） 不不Ｐ如Ｒ 如Ｉ
キ （ケ） 不Ｐ則Ｒ ク含意の定義
１ （コ） 不Ｐ則Ｒ イウカキケ如Ｅ
サ（サ） 不Ｐ Ａ
１ サ（シ） Ｑ アサＭＰＰ
１ サ（ス） Ｒ コサ
１ サ（セ） Ｑ而Ｒ シス而Ｉ
１ （ソ）不Ｐ則（Ｑ而Ｒ） サセＣＰ
１ （タ） Ｐ如（Ｑ而Ｒ） ソ含意の定義
といふ「計算」は、
（ａ） Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）├（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
（ｂ）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）├ Ｐ＆ （Ｑ∨Ｒ）
（ｃ） Ｐ∨ （Ｑ＆Ｒ）├（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
（ｄ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）├ Ｐ∨ （Ｑ＆Ｒ）
といふ「連式（Sequents）」の「証明」そのものである。
然るに、
（07）
漢文は自然言語ではなかった。また「聞いて話す」音声言語ではなく、「読んで書く」ための書記言語である。漢字の習得者だけが、漢文を学習できる。「ネイティブライター」は、原理的に存在しない。
（加藤徹、白文攻略 漢文法ひとり学び、2013年、８頁）
従って、
（01）～（07）により、
（08）
「漢文（Kanbun）」といふ「人工言語・書記言語」は、その「部分集合（subset）」として「命題論理（propositional logic）」そのものを含んでゐる。
従って、
（08）により、
（09）
明治以前の日本人は、漢文を読むことで論理的な考えを身につけました。漢文は論理的な構文をたくさん含んでいるからです（山下正男、論理的に考えること、1985年、ⅲ）。
といふことになる。
従って、
（08）（09）により、
（10）
そのように、その「部分集合」として「命題論理」を含んでゐる「漢文（Kanbun）」に対して、「逐語的に対応する日本語（訓読）」が、「英語」よりも「非論理的」である。
といふことは、ほとんど、有り得ない。
（11）
⑪ ～～（～Ｐ∨Ｑ）＝
⑪ 不不（不Ｐ如Ｑ）＝
⑪ 無非（不Ｐ如Ｑ）＝
⑪ 無［非〔不（Ｐ）如Ｑ〕］⇒
⑪ ［〔（Ｐ）不如Ｑ〕非］無＝
⑪ ［〔（Ｐなら）ざるか、もしくはＱに〕非ざるは］無し＝
⑪ Ｐでないか、もしくは、Ｑである。といふことはない、のではない。
然るに、
（12）
⑪ Ｐでないか、もしくは、Ｑである。といふことはない、のではない。
に対する、「グーグル翻訳」、並びに、「ワード２０１９」による「機械翻訳」は
⑪ Not P or Q. It is not that it is not.
⑪ Not P or, it is Q. It is not.
となって、「分けが、分からない」。
（13）
⑪ ［〔（Ｐなら）ざるか、もしくはＱに〕非ざるは］無し
ではなく、
⑪ ［〔（Ｐなら）ざるか、もしくはＱに〕非ず。
であるならば、
⑪ It is not the case that not P or Q.
であるはずである。
然るに、
（14）
⑪ It is not the case that not P or Q.
に対する、「グーグル翻訳」、並びに、「ワード２０１９」による「機械翻訳」は
⑪ PまたはQではないというわけではありません。
⑪ PやQではない場合ではありません。
となって、すなはち、
⑪ Ｐであるか、もしくは、Ｑでない。といふことはない。
となって、
⑪ Ｐでないか、もしくは、Ｑである。といふことはない。
とはならない。
（15）
⑪［〔（Ｐなら）ざるか、もしくはＱに〕非ず。
に対する「英訳」、すなはち、
⑪ It is not the case that not P or Q.
といふ「英語」の「否定形」は、「どう書いたら良い」のかが分からない。
従って、
（11）～（15）により、
（16）
⑪ ～～（～Ｐ∨Ｑ）
といふ「論理式（well-formed formula）」を、「漢文訓読」では、
⑪ 無非（不Ｐ如Ｑ）⇔
⑪（Ｐならざるか、もしくはＱに）非ざるは無し。
といふ風に「書ける」のに対して、
⑪ ～～（～Ｐ∨Ｑ）
といふ「論理式（well-formed formula）」を、「英訳」することは、出来ない。
従って、
（16）により、
（17）
飽く迄も、その「意味」では、「漢文訓読」の方が、「英語」よりも、はるかに「論理的（Logical）」である。
（18）
⑫ 無不好我者⇔
⑫ 無［不〔好（我）〕者］⇔
⑫ ［〔（我）好〕不者］無⇔
⑫ ［〔（我を）好ま〕ざる者］無し⇔
⑫ 私のことを、嫌いな人は、ゐない⇔
⑫ 誰もが、私のことを、好いてゐる⇔
⑫ ∀ｘ｛人ｘ→∃ｙ（私ｙ＆愛ｘｙ）｝⇔
⑫ すべてのｘについて、ｘが人ならば、あるｙは私であって、ｘはｙを愛す。
（19）
⑬ 我無物不知⇔
⑬ 我無〔物不（知）〕⇔
⑬ 我〔物（知）不〕無⇔
⑬ 我に〔物として（知ら）ざるは〕無し⇔
⑬ 私には、知らない物が無い（どんな物でも知ってゐる）。
然るに、
（20）
このような用法は、特に英語で問題になる。たとえば、Nobody don't like me. (誰も僕を好いてくれない)や I don't know nothing. (僕は何も知らない) などがこれにあたる。
二重否定 (言語学)出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
従って、
（19）（20）により、
（21）
「漢文訓読」とは異なり、「英語」では、
⑫ Nobody don't like me.
⑬ I don't know nothing.
といふ「二重否定」が、
⑫ 私のことを、嫌いな人はゐない。
⑬ 私には、知らない物が無い。
といふ「意味」ではなく、
⑫ 誰も僕を好いてくれない。
⑬ 僕は何も知らない。
といふ「反対の意味」になる。
然るに、
（22）
このような言い方は2つの否定を意味する語句が対応しあって1つの否定表現を形作るもので、英語は本来はこのように否定文では否定形の語を一貫して使う否定呼応を用いる言語であった。すなわち、否定呼応を用いる言語では、二重に否定語を用いても単純にひとつの否定表現を作るだけであり、論理学的に見た場合は単なる否定である。しかし、否定呼応を用いない言語では、二重に否定語を用いることは論理学的に見るところの「否定」の否定であり、肯定である。
二重否定 (言語学)出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
従って、
（18）～（22）により、
（23）
⑫ 無不我好者（我を好まざる者無し）。
⑬ 我無物不知（我に物として知らざるは無し）。
⑫ Nobody don't like me.
⑬ I don't know nothing.
に於いて、「論理的（Logical）」なのは、「漢文訓読」であって、「英語」ではない。
従って、
（01）～（23）により、
（24）
以上を要するに、
（ⅰ）「漢文（Kanbun）」といふ「人工言語・書記言語」は、その「部分集合（subset）」として、少なくとも、「命題論理（propositional logic）」を含んでゐた。
（ⅱ）然るに、「訓読」は、そのやうな「漢文」を「逐語的に、日本語」に「翻訳」した「結果」である。
（ⅲ）従って、「漢文・訓読」は、必然的に「論理的（Logical）」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（25）
先日、数人の大学の先生と話をしているときに、ある先生が「うちの学生が、英語ができるようになったら、数学ができるようになった」と言った。これは、暗に、英語ができるようになった、だから数学ができるようになったと言いたいのである。言い換えれば、日本語では論理的に考えられないから、数学ができない、と言いたいのである。私は「またか」と思った。日本人は、この大学の先生のように、日本語は非論理的であり、論理的思考に向いていないと思い込んでいる人が多い。
（月本洋、日本語は論理的である、2009年、２頁）
従って、
（24）（25）により、
（26）
「漢文」が「得意（好き）」であった人物が、「論理学」が「好き（得意）」になる。といふことは、有り得ても、
「日本語では論理的に考えられないから、数学ができない。」といふことは、有り得ない。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｅ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） １４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨ Ｑ ≡不Ｐ如Ｑ。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡無Ｐ而不Ｑ。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（03）
（ⅱ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ⅲ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡無Ｐ而不Ｑ。
③ Ｐ→ Ｑ ≡如Ｐ則Ｑ。
に於いて、
②＝③ であって、この「等式」を「含意の定義（Ⅰ）」とする。
然るに、
（02）（04）により、
（05）
① ～Ｐ∨ Ｑ ≡不Ｐ如Ｑ。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡無Ｐ而不Ｑ。
③ Ｐ→ Ｑ ≡如Ｐ則Ｑ。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① ～Ｐ∨ Ｑ ≡不Ｐ如Ｑ。
③ Ｐ→ Ｑ ≡如Ｐ則Ｑ。
に於いて、
①＝③ であって、この「等式」を「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（04）（06）により、
（07）
① Ｐ→Ｑ≡～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→Ｑ≡ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「等式」に於いて、
① を「含意の定義（Ⅰ）」とし、
② を「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（07）により、
（08）
① ＰならばＱである≡Ｐであって、Ｑでない。といふことはない（無Ｐ而不Ｑ）。
② ＰならばＱである≡Ｐであるか、Ｑである（不Ｐ如Ｑ）。
① を「含意の定義（Ⅰ）」とし、
② を「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（03）（05）により、
（09）
因みに言ふと、例へば、
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
といふ「計算」は、
（ⅲ）
１ （１） 如Ｐ則 Ｑ Ａ
２（２） Ｐ而不Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） 不Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） 不Ｑ而Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）無（Ｐ而不Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （〃）Ｐにして、Ｑならざるは無し。
といふ「計算」に「等しい」。
従って、
（09）により、
（10）
「命題計算（Propositional calculus）」は、「漢文（kanbun）」で行ふことが、出来る。
然るに、
（11）
① （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
といふ「式」は、「交換法則」と「含意の定義（Ⅰ、Ⅱ）」により、
① （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
② （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④ （（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ風に、「書き換へる」ことが、出来る。
従って、
（12）
② （（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「式」は、「含意の定義（Ⅰ、Ⅱ）」と「交換法則」により、
① （（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③ （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④ （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
といふ風に、「書き換へる」ことが、出来る。
従って、
（11）（12）により、
（13）
「正式な計算」をするまでもなく、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（13）により、
（14）
①（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、予め、「確定」である。
然るに、
（15）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
２ （３） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） Ａ
２ （４） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
２ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４交換法則
２ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ５＆Ｅ
２ （７） Ｐ→ Ｑ ６含意の定義（Ⅰ）
８ （８） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ Ａ
２８ （９） Ｐ ７８ＭＰＰ
２ （ア） ～Ｐ ５＆Ｅ
２８ （イ） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
２ （ウ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ８イＲＡＡ
２ （エ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｐ Ａ
オ（カ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ オ∨Ｉ
１ （キ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ２３エオカ∨Ｅ
１ （ク） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ キ含意の定義（Ⅱ）
（ⅱ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
４ （４） ～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） Ａ
４ （５） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ ４含意の定義（Ⅰ）
３４ （６） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）＆
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ３５＆Ｉ
３ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ４６ＲＡＡ
３ （８） （（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
３ （９） Ｐ→ Ｑ ８＆Ｅ
３ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ９含意の定義（Ⅰ）
３ （イ） ～Ｐ ８＆Ｅ
３ （ウ） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） アイ＆Ｉ
３ （エ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） ウ、ド・モルガンの法則
３ （オ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ エ∨Ｉ
カ（カ） Ｐ Ａ
カ（キ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ カ∨Ｉ
１ （ク） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １３オカキ∨Ｅ
１ （ケ） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ ク含意の定義（Ⅱ）
従って、
（15）により、
（16）
「正式な計算」によっても、果たして、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
② （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
「命題計算の暗算」が得意な人物がゐるとしたら、その人から見れば、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡ （Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
② （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「一目瞭然」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（18）
①（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
①＝② であって、尚且つ、
①（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふことは、「当然」である以上、
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふことも、「当然」である。
然るに、
（20）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
といふ「記事」を読んだ際の、私自身は、その時はまだ、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡ （Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
② （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふ「計算」を、行ってはゐなかった。
従って、
（21）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
と言はれてみると、確かに、さうであると、その時は、思へたのの、今の私は、自分で「計算」をしてみて、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡ （Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
② （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふことを知ってゐる。
従って、
（20）（21）により、
（22）
私としては、（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）のオーナーの方に対して、「パースの法則は、少しも変ではない。」といふ風に、言はせて、貰いたい。
（23）
私としては、「パースの法則」そのものよりも、むしろ、「排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつとして」といふ「言ひ方」の方が「変」なのではといふ風に、思へて、ならない。
（01）
７ 実際上、われわれの規則ＤＮはつぎの２つの規則が結合したものである。
（ⅰ）Ａから～～Ａを導出すること、そして、
（ⅱ）～～ＡからＡを導出すること、
（ⅰ）は他の原始的規則から導出されることを示せ（規則ＭＴＴ、すなわち連式５５、対する、これに対応する証明を参照せよ）。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８１頁）
（02）
〔解答〕
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３） Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４）～～Ｐ ２３ＲＡＡ
（５） Ｐ→～～Ｐ １４ＣＰ
ｃｆ.
ただし、「E.J.レモン、論理学初歩」には、「練習問題の解答」は、載ってゐません。
然るに、
（03）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→～～Ｐ
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
１ （１） Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
１２ （３） Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４）～～Ｐ ２３ＲＡＡ
（５） Ｐ→～～Ｐ １４ＣＰ
６（６） ～～～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ ５６ＭＴＴ
（８）～～～Ｐ→～Ｐ ６７ＣＰ
従って、
（03）（05）により、
（06）
② ～～～Ｐ→～Ｐ
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
任意の命題Ｐは、
Ｐ＝真 であるか、
Ｐ＝偽 であるか、いづれかであり、尚且つ、
② ～真＝偽 であって、
② ～偽＝真 である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
② ～～～Ｐ→～Ｐ
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
② ～～偽→偽
② ～～真→真
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（09）
任意の命題Ｐは、
Ｐ＝真 であるか、
Ｐ＝偽 であるか、いづれかであり、尚且つ、
② ～～偽→偽
② ～～真→真
といふことは、
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことである。
従って、
（04）（09）により、
（10）
① Ｐ→～～Ｐ
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式」を、「二重否定の除去」といふ。
従って、
（10）（11）により、
（12）
"「Ｐではない」ではないならば、Ｐである"
つまり、否定を～で表すと「～～ＰならばＰ」だと言ってます。
……何か問題が?
けどこれ「二重否定の除去」といって、成り立つことが示せないんですよ（@gyu-don）。
といふことには、ならない。
然るに、
（13）
①（（（Ａであると）Ｂが言ったと）Ｃが言ったと）Ｄが言った。
といふ「再帰表現（recursion）」が「本当」」であるならば、
② Ｄは（（（Ａであると）Ｂが言ったと）Ｃが言ったと）言ったことになり、
③ Ｃは （（Ａであると）Ｂが言ったと）言ったことになり、
④ Ｂは （Ａであると）言ったことになる。
ｃｆ.
ピダハン 謎の言語を操るアマゾンの民｜地球ドラマチック（ＮＨＫ、2014.08.16）
従って、
（13）により、
（14）
①（（（Ａであると）Ｂが言ったのウソであると）Ｃが言ったのはウソであると）Ｄが言ったのはウソである。
といふ「再帰表現（recursion）」も、
②（（（Ａである。）はウソである。）はウソである。）はウソである。
といふ「構造」をしてゐる、ことになる。
従って、
（14）により、
（15）
② ～～～Ｐ≡Ｐでない。ではない。ではない。
といふ「命題」も、
② ～（～（～（Ｐ）））≡（（（Ｐ）でない。）ではない。）ではない。
といふ「構造」をしてゐる、ことになる。
従って、
（05）（15）により、
（16）
１ （１） Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
１２ （３） Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４）～～Ｐ ２３ＲＡＡ
（５） Ｐ→～～Ｐ １４ＣＰ
６（６） ～～～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ ５６ＭＴＴ
（８）～～～Ｐ→～Ｐ ６７ＣＰ
といふ「計算」は、
１ （１） （Ｐ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ） Ａ
１２ （３） （Ｐ）＆～（Ｐ） １２＆Ｉ
１ （４）～（～（Ｐ）） ２３ＲＡＡ
（５） （Ｐ）→～（～（Ｐ）） １４ＣＰ
６（６） ～（～（～（Ｐ））） Ａ
６（７） ～（Ｐ） ５６ＭＴＴ
（８）～（～（～（Ｐ）））→～（Ｐ） ６７ＣＰ
と書くのが、「正しい」。
然るに、
（17）
一々、
② ～（～（～（Ｐ）））→～（Ｐ）
と書くのは、「面倒で、カナハナイ」。
従って、
（18）
実際には、
② ～～～Ｐ→～Ｐ
としか書かないものの、
② ～（～（～（Ｐ）））→～（Ｐ）
といふ「式」を、
② ～～～Ｐ→～Ｐ
と書くのであれば、
② ～～～Ｐ→～Ｐ
といふ「式」は、
② ～～（～Ｐ）→（～Ｐ）
といふ風に、書いても良い。
といふ、ことになる。
然るに、
（19）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（06）（18）（19）により、
（20）
② ～～（～Ｐ）→（～Ｐ）
に於いて、
（～Ｐ）＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式（二重否定の除去）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）（10）（20）により、
（21）
いづれにせよ、
① Ｐ→～～Ｐ
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式（ＤＮ）」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
（01）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ ≡Ｐならば、 Ｑである（如Ｐ則Ｑ）。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、Ｑでない。といふことはない（無Ｐ而不Ｑ）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を、「含意の定義（Ⅰ）」とする。
然るに、
（03）
（ⅲ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅳ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
１ （ウ） Ｐ→ Ｑ イ含意の定義（Ⅰ）
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、 Ｑである（如Ｐ則Ｑ）。
④ ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、Ｑである（不Ｐ如Ｑ）。
に於いて、
③＝④ であって、この「等式」を、「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ→Ｑ≡～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→Ｑ≡ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「等式」に於いて、
① は、「含意の定義（Ⅰ）」であって、
② は、「含意の定義（Ⅱ）」である。
ｃｆ.
「上田泰治、論理学、1967年、８６頁」を見ると、「①と②」は、まとめて、「含意の定義」とされてゐる。
然るに、
（06）
① Ｐ→Ｑ≡～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→Ｑ≡ ～Ｐ∨ Ｑ
であるならば、
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡～Ｐ∨Ｑ
であるものの、
③ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
「含意の定義（Ⅰ・Ⅱ）」は、「ド・モルガンの法則」を介して、成立する。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） （Ｐ→ Ｑ） ２含意の定義（Ⅰ）
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６） ～～（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義（Ⅱ）
７ （７） ～～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ＤＮ
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
然るに、
（09）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３（４） Ｐ ３＆Ｅ
１ （５） Ｐ １２２３４∨Ｅ
（６）（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ １５ＣＰ
従って、
（10）（11）により、
（12）
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
４ （４） ～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） Ａ
４ （５） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ ４含意の定義（Ⅰ）
３４ （６） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）＆
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ３５＆Ｉ
３ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ４６ＲＡＡ
３ （８） （（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
３ （９） Ｐ→ Ｑ ８＆Ｅ
３ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ９含意の定義（Ⅰ）
３ （イ） ～Ｐ ８＆Ｅ
３ （ウ） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） アイ＆Ｉ
３ （エ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） ウ、ド・モルガンの法則
３ （オ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ エ∨Ｉ
カ（カ） Ｐ Ａ
カ（キ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ カ∨Ｉ
１ （ク） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １３オカキ∨Ｅ
１ （ケ） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ ク含意の定義（Ⅱ）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
２ （３） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） Ａ
２ （４） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
２ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４交換法則
２ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ５＆Ｅ
２ （７） Ｐ→ Ｑ ６含意の定義（Ⅰ）
２ （８） ～Ｐ ５＆Ｅ
２ （９） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ７８＆Ｉ
ア （ア） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ Ａ
２ （イ） （Ｐ→ Ｑ） ９＆Ｅ
２ア （ウ） Ｐ アイＭＰＰ
２ （エ） ～Ｐ ９＆Ｅ
２ア （オ） Ｐ＆～Ｐ ウエ＆Ｉ
２ （カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） アオＲＡＡ
２ （キ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ カ∨Ｉ
ク（ク） Ｐ Ａ
ク（ケ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ク∨Ｉ
１ （コ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ １２キクケ∨Ｅ
１ （サ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ コ含意の定義（Ⅱ）
従って、
（13）により、
（14）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
といふ「論理式」に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふ「日本語」に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））
といふのであれば、いづれにせよ、
② Ｐである。
従って、
（15）（16）により、
（17）
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふ「命題」と、「等価」である所の、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「普通の命題」である。
（01）
７ 実際上、われわれの規則ＤＮはつぎの２つの規則が結合したものである。
（ⅰ）Ａから～～Ａを導出すること、そして、
（ⅱ）～～ＡからＡを導出すること、
（ⅰ）は他の原始的規則から導出されることを示せ（規則ＭＴＴ、すなわち連式５５、対する、これに対応する証明を参照せよ）。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８１頁）
（02）
〔解答〕
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３） Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４）～～Ｐ ２３ＲＡＡ
（５） Ｐ→～～Ｐ １４ＣＰ
ｃｆ.
ただし、「E.J.レモン、論理学初歩」には、「練習問題の解答」は、載ってゐません。
従って、
（02）により、
（03）
１ （１） （Ｐ） Ａ
２（２） （～Ｐ） Ａ
１２（３） （Ｐ）＆（～Ｐ） １２＆Ｉ
１ （４）～（～Ｐ） ２３ＲＡＡ
（５） （Ｐ）→～（～Ｐ） １４ＣＰ
然るに、
（04）
１ （１） （Ｐ） Ａ
２ （２） （～Ｐ） Ａ
１２ （３） （Ｐ）＆（～Ｐ） １２＆Ｉ
１ （４） ～（～Ｐ） ２３ＲＡＡ
（５） （Ｐ）→～（～Ｐ） １４ＣＰ
６（６） ～～（～Ｐ） Ａ
６（７） （～Ｐ） ５６ＭＴＴ
（８） ～～（～Ｐ）→ （～Ｐ） ６７ＣＰ
然るに、
（05）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① （Ｐ）→～（～Ｐ）
② ～～（～Ｐ）→ （～Ｐ）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（07）
① （Ｐ）→～（～Ｐ）
といふ「式」は、
① （Ｐ）→～～（Ｐ）
といふ「式」に、「等しい」。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① （Ｐ）→～～（Ｐ）
② ～～（～Ｐ）→ （～Ｐ）
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
（Ｓ１）証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見いだされうる。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、６９頁）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
① （Ｐ）→～～（Ｐ）
② ～～（～Ｐ）→ （～Ｐ）
に於いて、
～Ｐ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行へば、
① （Ｐ）→～～（Ｐ）
② ～～（Ｐ）→ （Ｐ）
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（10）により、
（11）
① Ｐ→～～Ｐ
② ～～Ｐ→ Ｐ
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（01）により、
（12）
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ「１０個の規則」を、「原始的規則（10 primitive rules）」といふ。
従って、
（01）（11）（12）により、
（13）
実際上、われわれの規則「二重否定（ＤＮ）」はつぎの２つの規則が結合したものである。
（ⅰ）Ａから～～Ａを導出すること、そして、
（ⅱ）～～ＡからＡを導出すること、そして、
（ⅰ）は他の原始的規則（Ａ、＆Ｉ、ＲＡＡ、ＣＰ）」 から導出されることを示せるし、
（ⅱ）も他の原始的規則（Ａ、＆Ｉ、ＲＡＡ、ＣＰ、ＭＴＴ）から導出されることを示せる。
といふことが、分かった、ことになる。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
から、
④ 二重否定（ＤＮ）
を除いて、「原始的規則（9 primitive rules）」としても、「支障」は無い。
然るに、
（15）
"「Ｐではない」ではないならば、Ｐである"
つまり、否定を～で表すと「～～ＰならばＰ」だと言ってます。
……何か問題が?
けどこれ「二重否定の除去」といって、成り立つことが示せないんですよ。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
けどこれ「二重否定の除去」といって、成り立つことが示せないんですよ。
といふことには、ならない。
然るに、
（17）
直観主義論理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
証明論的な視点から見ると、直観主義論理は古典論理の制限であって排中律や二重否定除去が公理として許容されないものである。排中律や二重否定除去はいくつかの論理式に対しては個別に証明できることがあるけれども、古典論理のように普遍的に成立することはない。
然るに、
（18）
―「排中律」の証明 ―
４４ ├ Ｐ∨～Ｐ
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
１ （８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、６６頁）
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
「直観主義論理は古典論理の制限であって排中律や二重否定除去が公理として許容されないものである。」
といは言ふものの、
「自然演繹からすれば、排中律や二重否定除去は、固より、公理ではなく、規則から演繹される所の、定理に、過ぎない。」
（01）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
（02）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁と、原文）
ｃｆ.
ただし、「E.J.レモン、論理学初歩」には、「練習問題の解答」は、載ってゐません。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （４） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
４ （５） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
３４ （６） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ５＆Ｉ
３ （７）～（～Ｐ∨ Ｑ） ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３ （９） Ｐ ８＆Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ２３９アア∨Ｅ
（ウ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
（ⅱ）
（１） ～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
２ （５） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ２４＆Ｉ
２ （６）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ５ド・モルガンの法則
９ （７） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
９ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ７含意の定義
４９ （９）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６８＆Ｉ
４ （ア） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ７９ＲＡＡ
４ （イ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｐ Ａ
ウ（エ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
（オ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １２イウエ∨Ｅ
（カ） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ オ含意の定義
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
２３４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
２３ （８） Ｑ ７ＤＮ
２ （９） Ｐ→ Ｑ ３８ＣＰ
（ア） ～（Ｐ＆～Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ２９ＣＰ
イ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
１ イ （ウ） （Ｐ→Ｑ） アイＭＰＰ
１ イ （エ） Ｐ １ウＭＰＰ
１ （オ） ～（Ｐ＆～Ｑ）→ Ｐ イエＣＰ
１ （カ）～～（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ 含意の定義
キ （キ）～～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
キ （ク） Ｐ＆～Ｑ キＤＮ
キ （ケ） Ｐ ク＆Ｉ
コ （コ） Ｐ Ａ
１ （サ） Ｐ カキケココ∨Ｅ
（シ） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ １サＣＰ
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
従って、
（02）（03）により、
（04）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
５ 兎に角、証明せよ。
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「問題」に対する「解答」は、少なくとも、
（ⅰ）
（ⅰ）１２行の「計算」
（ⅱ）１５行の「計算」
（ⅲ）２１行の「計算」
による、少なくとも、「３通りの証明」が有ることになる。
然るに、
（05）
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ「１０個の規則」を、「原始的規則（primitive rules）」といふ。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
５ 次の連式を、原始的規則のみによって証明せよ
５ Prove the following sequent by primitive rules alone:
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「問題」であるならば、
（ⅰ）１２行の「計算」
（ⅱ）１５行の「計算」
（ⅲ）２１行の「計算」
に於いて、
（ⅰ）からは、「含意の定義＋含意の定義＋ド・モルガンの法則」 を除く「必要」が有り、
（ⅱ）からは、「排中律＋含意の定義＋ド・モルガンの法則＋含意の定義＋含意の定義」を除く「必要」が有り、
（ⅲ）からは、「含意の定義」 を除く「必要」が有る。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （４） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
４ （５） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
３４ （６） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ５＆Ｉ
３ （７）～（～Ｐ∨ Ｑ） ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３ （９） Ｐ ８＆Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ２３９アア∨Ｅ
（ウ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
から、「含意の定義＋含意の定義＋ド・モルガンの法則」を除くのであれば、
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ） Ａ
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
３ （４） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ）＆
（～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～（Ｐ→ Ｑ） ３５ＲＡＡ
２ （７） （Ｐ→ Ｑ） ６ＤＮ
１２ （８） Ｐ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ）＆
（～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ イＤＮ（２）
エ （エ） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ（選言支左）
オ （オ） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
カ （カ） Ｐ＆～Ｑ Ａ
キ （キ） ～Ｐ Ａ
カ （ク） Ｐ カ＆Ｅ
カキ （ケ） ～Ｐ＆Ｐ キク＆Ｉ
キ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ） カケＲＡＡ
サ （サ） Ｑ Ａ
カ （シ） ～Ｑ カ＆Ｅ
カ サ （ス） Ｑ＆～Ｑ サシ＆Ｉ
サ （セ） ～（Ｐ＆～Ｑ） カスＲＡＡ
オ （ソ） ～（Ｐ＆～Ｑ） オキコシセ∨Ｅ
タ （タ） Ｐ Ａ
チ （チ） ～Ｑ Ａ
タチ （ツ） Ｐ＆～Ｑ タチ＆Ｉ
オ タチ （テ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） コツ＆Ｉ
オ タ （ト） ～～Ｑ チテＲＡＡ
オ タ （ナ） Ｑ トＤＮ
オ （ニ） Ｐ→ Ｑ タナ
エオ （ヌ） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） エニ＆Ｉ
エ （ネ） ～（～Ｐ∨ Ｑ） オヌＲＡＡ
ノ （ノ） ～Ｐ Ａ
ノ （ハ） ～Ｐ∨ Ｑ ノ∨Ｉ
エ ノ （ヒ） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ネハ＆Ｉ
エ （フ） ～～Ｐ ノヒＲＡＡ
エ （ヘ） Ｐ フＤＮ
ホ（ホ） Ｐ Ａ（選言支右）
１ （マ） Ｐ ウエヘホホ∨Ｅ
（ミ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １マＣＰ
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
従って、
（06）（07）により、
（08）
（ⅰ）１２行の「計算」
（ⅱ）１５行の「計算」
（ⅲ）２１行の「計算」
に於いて、
（ⅰ）からは、「含意の定義＋含意の定義＋ド・モルガンの法則」を除くならば、
（ⅰ）１２行の「計算」は、「３０行」増へて、「４２行」になる。
従って、
（06）（08）により、
（09）
（ⅰ）１２行の「計算」
（ⅱ）１５行の「計算」
（ⅲ）２１行の「計算」
に於いて、
（ⅱ）からは、「排中律＋含意の定義＋ド・モルガンの法則＋含意の定義＋含意の定義」を除くならば、
（ⅱ）１５行の「計算」は、恐らく、「９０行」近くになる。
然るに、
（06）により、
（10）
（ⅲ）２１行の「計算」に対しては、
（ⅴ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
２３４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
２３ （８） Ｑ ７ＤＮ
２ （９） Ｐ→ Ｑ ３８ＣＰ
（ア） ～（Ｐ＆～Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ２９ＣＰ
イ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
１ イ （ウ） （Ｐ→Ｑ） アイＭＰＰ
１ イ （エ） Ｐ １ウＭＰＰ
１ （オ） ～（Ｐ＆～Ｑ）→ Ｐ イエＣＰ
カ （カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ Ａ
カ （キ） ～（Ｐ＆～Ｑ） カ＆Ｅ
１ カ （ク） Ｐ オキＭＰＰ
カ （ケ） ～Ｐ カ＆Ｅ
１ カ （コ） Ｐ＆～Ｐ クケ＆Ｉ
１ （サ）～～（Ｐ＆～Ｑ） カコＤＮ
１ （シ） （Ｐ＆～Ｑ） サＤＮ
１ （ス） （Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ サ∨Ｉ
セ （セ） Ｐ＆～Ｑ Ａ
セ （ソ） Ｐ ス＆Ｅ
タ（タ） Ｐ Ａ
１ （チ） Ｐ スセソタツ∨Ｅ
（ツ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １タＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
であるため、
（ⅲ）２１行の「計算」に対しては、
（ⅴ）２７行の「計算」に変へることによって、
（ⅲ）からは、「含意の定義」を除くことが、出来る。
従って、
（06）～（10）により、
（11）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
５ 兎に角、証明せよ。
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「問題」ではなく、
５ 次の連式を、原始的規則のみによって証明せよ
５ Prove the following sequent by primitive rules alone:
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「問題」であるならば、
（ⅰ）１２行の「計算」は、「４２行」になり、
（ⅱ）１５行の「計算」は、「９０行」近くになり、
（ⅲ）２１行の「計算」は、「２７行」になる。
ｃｆ.
こうしてその証明を、最初の基本的規則からのより長い証明に変形できる。この場合に必要なのは、ある番号の付けかえのみである。
and thus transform the proof into a lengtheir proof form first principles: only a certain renumbering of lines is involved.
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、７２頁と、原文）
従って、
（11）により、
（12）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁と、原文）
といふ「問題」になってゐる。といふことからも分かるやうに、いづれにせよ、
├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「自然演繹」で、「証明」出来る。
といふ、ことになる。
然るに、
（13）
├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「定理（Theorem）」を「証明」するといふことは、
（１）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） から、
（２） Ｐが「演繹」出来ることを、「証明」することに「等しい」。
然るに、
（14）
「含意の定義」により、
（１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） は、
（２）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ に「等しい」。
然るに、
（15）
「ド・モルガンの法則」により、
（２）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ は、
（３） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ に「等しい」。
然るに、
（16）
（３） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ からは、
（４） Ｐ ∨Ｐ が「演繹」出来る。
然るに、
（17）
（４） Ｐ ∨Ｐ からは、
（５） Ｐ が「演繹」出来る。
従って、
（14）～（17）により、
（18）
（１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
（２）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ：含意の定義
（３） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ：ド・モルガンの法則
（４） Ｐ ∨Ｐ
（５） Ｐ
（６）（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
となるものの、このことは、「含意の定義・ド・モルガンの法則」を、理解してゐる人間にとっては、「当然」である。
従って、
（19）
├ （（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ風に、「言葉」で言ふと、「パースの法則」は、「不思議な感じ」がするものの、
（１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
（２）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ
（３） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
（４） Ｐ ∨Ｐ
（５） Ｐ
（６）（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「計算」を見てしまふと、「そんなことは、当然」である。
といふことに、なる。
従って、
（20）
「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」を、理解してゐるのであれば、
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （４） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
４ （５） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
３４ （６） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ５＆Ｉ
３ （７）～（～Ｐ∨ Ｑ） ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３ （９） Ｐ ８＆Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ２３９アア∨Ｅ
（ウ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「計算」は、「当然」であって、それ故、
├ （（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「当然」である。
（21）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
５ 兎に角、証明せよ。
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「問題」を、解いた際には、「特に、不思議な定理である」とは思はないまま、多分、
（１） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）
（２）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ
（３） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
（４） Ｐ ∨Ｐ
（５） Ｐ
（６）（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「計算」をして、「そのやうな計算」をしたことを、忘れてゐた。
然るに、
（22）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ。
といふ「記事」に接して、「それならば、排中律を使って、証明しよう。」と思って、
（ⅱ）
（１） ～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
２ （５） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ２４＆Ｉ
２ （６）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ５ド・モルガンの法則
９ （７） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
９ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ７含意の定義
４９ （９）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６８＆Ｉ
４ （ア） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ７９ＲＡＡ
４ （イ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｐ Ａ
ウ（エ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
（オ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １２イウエ∨Ｅ
（カ） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ オ含意の定義
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
といふ「計算」をした。
然るに、
（23）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （４） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
４ （５） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
３４ （６） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ５＆Ｉ
３ （７）～（～Ｐ∨ Ｑ） ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３ （９） Ｐ ８＆Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ２３９アア∨Ｅ
（ウ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「計算」があるのだから、固より、
（ⅱ）
（１） ～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
から始まる「計算」をする「必要」などは、無かった。
といふことが、分かった。
然るに、
（24）
（ⅰ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
といふ「計算」であっても、
（ⅱ）
（１） Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
（２） Ｐ Ａ
（３） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
（４） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（５） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） ６∨Ｉ
６（８） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ７含意の定義
（９） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １２５６７∨Ｅ
（〃） Ｐならば（ＱならばＰである）。
といふ風に、「排中律」から始めて、「ワザワザ、無駄な計算」をすることが、出来る。
ｃｆ.
「ルカジェヴィッツの公理１」。
従って、
（01）～（24）により、
（25）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
とは、言はれてはゐる（？）ものの、今は、
「パースの法則」と「排中律」が、「等価」であるならば、例へば、
「ルカジェヴィッツの公理１」等々も、そうである。
といふことを、知ってゐる。
従って、
（26）
「パースの法則は、排中律と等価である。」と、敢へて、言ふ「必要」はない。
と、私自身は、思ってゐる。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（３） ～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
４ （６） Ｐ→Ｑ ５含意の定義
４ （７）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ６∨Ｉ
８ （８） Ｐ Ａ
８ （９） ～～Ｐ ８ＤＮ
８ （ア）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ９∨Ｉ
（イ）～～Ｐ∨（Ｐ→Ｑ） ３４７８ア∨Ｅ
（ウ） ～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） イ含意の定義
エ（エ） ～Ｐ＆ Ｐ Ａ
エ（オ） ～Ｐ エ＆Ｅ
エ（カ） Ｐ→Ｑ ウオＭＰＰ
エ（キ） Ｐ エ＆Ｅ
エ（ク） Ｑ カキＭＰＰ
（ケ）（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ エクＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
１ （８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
然るに、
（02）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ→Ｐ≡ ＰならばＰである（同一律）。
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ≡（Ｐでなくて、Ｐである）ならばＱである。
③ Ｐ∨～Ｐ≡ Ｐであるか、Ｐでない（排中律）。
といふ「３つの式」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ Ａ
２（２） ～Ｑ Ａ
１２（３） ～（～Ｐ＆Ｐ） １２ＭＴＴ
１２（４） Ｐ∨～Ｐ ３ド・モルガンの法則
１ （５） ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ） ２４ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） （～Ｐ＆Ｐ） Ａ
２（３） ～（Ｐ∨～Ｐ） ２ド・モルガンの法則
１２（４）～～Ｑ １３ＭＴＴ
１２（５） Ｑ ４ＤＮ
１ （６） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ２５ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ ≡（Ｐでなくて、Ｐである）ならばＱである。
③ ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）≡ Ｑでないならば（Ｐであるか、Ｐでない）。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contradiction）」である。
然るに、
（06）
②（～Ｐ＆Ｐ）≡（Ｐでなくて、Ｐである）。
③（Ｐ∨～Ｐ）≡（Ｐであるか、Ｐでない）。
に於いて、
② は「矛盾（Contradiction）」であって、
③ は「排中律（law of excluded middle）」である。
従って、
（03）（05）（06）により、
（07）
②（～Ｐ＆Ｐ）→ Ｑ ≡（矛盾）ならばＱである。
③ ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）≡Ｑでないならば（排中律）。
に於いて、
② は「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も「恒真式（トートロジー）」であって、
②＝③ は、「対偶」である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１ （１） （～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ Ａ
１ （２）～（～Ｐ＆Ｐ）∨Ｑ １含意の定義
３ （３）～（～Ｐ＆Ｐ） Ａ
３ （４） （Ｐ∨～Ｐ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
１ （２）～～Ｑ∨（Ｐ∨～Ｐ） １含意の定義
３ （３）～～Ｑ Ａ
３ （４） Ｑ ３ＤＮ
３ （５） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ４∨Ｉ
６（６） （Ｐ∨～Ｐ） Ａ
６（７） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ １３５６７∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ∨～Ｐ）∨Ｑ Ａ
２ （２） （Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２ （３）～（～Ｐ＆Ｐ） ２ド・モルガンの法則
２ （４）～（～Ｐ＆Ｐ）∨Ｑ ３∨Ｉ
５（５） Ｑ Ａ
５（６）～（～Ｐ＆Ｐ）∨Ｑ ５∨Ｉ
１ （７）～（～Ｐ＆Ｐ）∨Ｑ １２４５６∨Ｅ
従って、
（07）（08）により、
（09）
②（～Ｐ＆Ｐ）→ Ｑ ≡（矛盾）ならばＱである。
③ ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）≡Ｑでないならば（排中律）。
④（Ｐ∨～Ｐ）∨ Ｑ ≡（排中律）か、Ｑである。
に於いて、
② は「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も「恒真式（トートロジー）」であって、
④ も「恒真式（トートロジー）」であって、
②＝③＝④ である。
然るに、
（10）
④（Ｐ∨～Ｐ）∨ Ｑ ≡（排中律）か、Ｑである。
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
④（Ｐ∨～Ｐ）∨ 真 ≡（排中律）か、真である。
④（Ｐ∨～Ｐ）∨ 偽 ≡（排中律）か、偽である。
の、両方とも、「真（本当）」である。
といふことに、ほかならない。
従って、
（09）（10）により、
（11）
②（～Ｐ＆Ｐ）→ Ｑ ≡（矛盾）ならばＱである。
③ ～Ｑ→（Ｐ∨～Ｐ）≡Ｑでないならば（排中律）。
④（Ｐ∨～Ｐ）∨ Ｑ ≡（排中律）か、Ｑである。
に於いて、
② は「恒真式（トートロジー）」であって、
③ も「恒真式（トートロジー）」であって、
④ も「恒真式（トートロジー）」であって、
②＝③＝④ である。
といふことは、
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ≡（矛盾）ならばＱである。
に於いて、
② Ｑは、「真（本当）」であっても、
② Ｑは、「偽（ウソ）」であっても、「どちらでも良い」。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（12）
Ｐ≡太陽は西から、昇る。
～Ｐ≡太陽は西からは昇らない。
Ｑ≡バカボンのパパは天才である。
～Ｑ≡バカボンのパパは天才ではない。
であるとして、
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ≡（太陽が西から昇らず、太陽が西から昇る）のであれば、バカボンのパパは天才である。
といふ風に、『仮言命題の、前件が矛盾』である場合は、
② Ｑ≡バカボンのパパは天才である。
とは、言ってはゐないし、
② ～Ｑ≡バカボンのパパは天才でない。
とも、言ってゐない。
従って、
（12）により、
（13）
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ≡（太陽が西から昇らず、太陽が西から昇る）のであれば、バカボンのパパは天才である。
といふ風に、『仮言命題の、前件が矛盾』である場合は、事実上、「何も、言ってゐない」。
然るに、
（14）
⑤ Ｑ→ Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
⑥ ～Ｐ→～Ｑ≡太陽が西から昇らないならば、バカボンのパパは天才ではない。
といふ「仮言命題」に於いて、
⑤＝⑥ は、「対偶」である。
然るに、
（15）
「常識」として、
⑦ ～Ｐ≡太陽は西から昇らない（東から昇る）。
従って、
（14）（15）により、
（16）
⑤ Ｑ→ Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
⑥ ～Ｐ→～Ｑ≡太陽が西から昇らないならば、バカボンのパパは天才ではない。
⑦ ～Ｐ ≡太陽は西から昇らない（東から昇る）。
に於いて、
⑤＝⑥ は、「対偶」であって、
⑦ は、「常識」である。
然るに、
（17）
（ⅴ）
１ （１）～Ｐ→～Ｑ Ａ
２（２）～Ｐ Ａ
１２（３） ～Ｑ １２ＭＰＰ
従って、
（16）（17）により、
（18）
⑤ Ｑ→Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
といふ「仮言命題」は、事実上、
⑤ ～Ｑ ≡バカボンのパパは天才ではない。
といふ「命題」に、「等しい」。
従って、
（13）（18）により、
（19）
②（～Ｐ＆Ｐ）→Ｑ≡（太陽が西から昇らず、太陽が西から昇る）のであれば、バカボンのパパは天才である。
といふ風に、『仮言命題の、前件が矛盾』である場合は、事実上、「何も、言ってゐない」のに対して、
⑤ Ｑ→Ｐ≡バカボンのパパが天才であるならば、太陽が西から昇る。
といふ「仮言命題」は、
⑤ ～Ｑ ≡バカボンのパパは天才ではない。
といふ風に、言ってゐる。
（01）
１ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、次の連式を証明せよ。
１ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove the followint sequent.
１ 兎に角、次の連式を証明せよ。
（１）├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）：ルカジェヴィッツの公理１
（証明ａ）
（１） Ｐ∨～Ｐ ＴＩ（排中律）
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
２ （４） Ｑ→Ｐ ３含意の定義
（５） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ２４ＣＰ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） ６∨Ｉ
６（８） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ７含意の定義
（９） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １２５７８∨Ｅ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
（証明ｂ）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２ （４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
１ （８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
ア （ア） Ｐ Ａ
ア （イ） ～Ｑ∨Ｐ ア∨Ｉ
ア （ウ） Ｑ→Ｐ イ含意の定義
（エ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） アウＣＰ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
オ（カ）～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） カ含意の定義
（ク） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ９アエオキ∨Ｅ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
従って、
（01）により、
（02）
（証明ａ）は、 「９行」からなり、「排中律（Ｐ∨～Ｐ）」 から始まってゐて、
（証明ｂ）は、「１７行」からなり、「排中律（Ｐ∨～Ｐ）」の「証明」から始まってゐる。
従って、
（02）により、
（03）
あるいは、
Ｐ∨～Ｐ
などいつでも使える出発点（公理）として準備したほうがいいのではないか、と思うでしょう。しかし、そんな必要はないのです。なぜなら、「排中律」は自然演繹で演繹できてしまうのです（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４１頁改）。
といふ、ことになる。
然るに、
（04）
（証明ｃ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
（証明ｄ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆ Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
従って、
（04）により、
（05）
（証明ｃ）は、 「４行」からなり、「含意の定義」を用ひてゐて、
（証明ｄ）は、「２１行」からなり、「含意の定義」の「証明」を、「証明の過程」で、行ってゐる。
然るに、
（06）
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
を、「原始的規則（10 primitive rules）」といふ。
従って、
（06）により、
（07）
「原始的規則（10 primitive rules）」の中に、
⑪ 含意の定義
は、入ってゐない。
従って、
（04）～（07）により、
（08）
１ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、次の連式を証明せよ。
１ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove the followint sequent.
１ 兎に角、次の連式を証明せよ。
（ⅰ）├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）：ルカジェヴィッツの公理１
ではなく、
２ 次の連式を、原始的規則のみによって証明せよ
２ Prove the following sequent by primitive rules alone:
（ⅰ）├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）：ルカジェヴィッツの公理１
であるならば、
（証明ｃ）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
ではなく、
（証明ｄ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆ Ｑ ４５＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
だけが、「正解」である。
然るに、
（09）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
これはフレーゲが提出した６つの公理を簡単にしたものである。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（01）～（09）により、
（10）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「３つの公理（Axioms）」の中の、
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
については、
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ、「自然演繹の規則」を用ひて、「証明済み」である。
然るに、
（11）
（ⅱ）├［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＭＰＰ
１ （８） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］ １８ＣＰ
（ⅲ）├（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｐ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→Ｐ ２７ＣＰ
（９）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ） １８ＣＰ
従って、
（10）（11）により、
（12）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「３つの公理（Axioms）」は、３つとも、
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ、「自然演繹の規則」を用ひて、「証明」出来る。
然るに、
（13）
連式に対して１０個の原始的規則のみを用いて証明が見出されるならば、その連式を、簡単な言いかたをとって、導出可能（deriable）であるとよぶことにしよう。―中略、―
メタ定理１：すべての導出可能な連式は、トートロジーである。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、９７頁）
従って、
（12）（13）により、
（14）
ルカジェヴィッツによる公理
（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（２）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（３）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「３つの公理（Axioms）」は、３つとも、「導出可能（deriable）」である。
（01）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
然るに、
（02）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁と、原文）
ｃｆ.
ただし、「E.J.レモン、論理学初歩」には、「練習問題の解答」は、載ってゐません。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
４ （４） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
４ （５） Ｐ→ Ｑ ３含意の定義
３４ （６） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ５＆Ｉ
３ （７）～（～Ｐ∨ Ｑ） ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
３ （９） Ｐ ８＆Ｉ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ２３９アア∨Ｅ
（ウ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
（ⅱ）
（１） ～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
２ （５） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ２４＆Ｉ
２ （６）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ５ド・モルガンの法則
９ （７） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
９ （８） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ７含意の定義
４９ （９）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ６８＆Ｉ
４ （ア） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ７９ＲＡＡ
４ （イ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ア∨Ｉ
ウ（ウ） Ｐ Ａ
ウ（エ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
（オ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １２イウエ∨Ｅ
（カ） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ オ含意の定義
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
２３４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
２３ （８） Ｑ ７ＤＮ
２ （９） Ｐ→ Ｑ ３８ＣＰ
（ア） ～（Ｐ＆～Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ２９ＣＰ
イ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
１ イ （ウ） （Ｐ→Ｑ） アイＭＰＰ
１ イ （エ） Ｐ １ウＭＰＰ
１ （オ） ～（Ｐ＆～Ｑ）→ Ｐ イエＣＰ
カ （カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ Ａ
カ （キ） ～（Ｐ＆～Ｑ） カ＆Ｅ
１ カ （ク） Ｐ オキＭＰＰ
カ （ケ） ～Ｐ カ＆Ｅ
１ カ （コ） Ｐ＆～Ｐ クケ＆Ｉ
１ （サ）～～（Ｐ＆～Ｑ） カコＤＮ
１ （シ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ サ∨Ｉ
ス （ス） Ｐ＆～Ｑ Ａ
ス （セ） Ｐ ス＆Ｅ
ソ（ソ） Ｐ Ａ
１ （タ） Ｐ シスセソソ∨Ｅ
（チ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １タＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「パースの法則」の「証明」は、
（ⅰ）１２行の「計算」
（ⅱ）１５行の「計算」
（ⅲ）２６行の「計算」
による、少なくとも、「３通りの証明」が有ることになる。
然るに、
（05）
今の場合は、
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
５ 兎に角にも、「証明せよ」。
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「出題」であったものの、
５ 原始的規則のみによって証明せよ
５ Prove by primitive rules alone:
といふことであれば、
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
⑪ 含意の定義
⑫ ド・モルガンの法則
から、
⑪ 含意の定義
⑫ ド・モルガンの法則
といふ「定理（Theorems）」が除かれるため、
（ⅰ）１２行の「計算」は、「含意の定義・ド・モルガンの法則」を、計３回、使ってゐる。
（ⅱ）１５行の「計算」は、「含意の定義・ド・モルガンの法則」を、計４回、使ってゐる。
（ⅲ）２６行の「計算」は、「含意の定義・ド・モルガンの法則」を、１度も使ってゐない。
といふことから、
（ⅲ）２６行の「計算」だけが、「正解」である。
従って、
（05）により、
（06）
５ 次の連式を、原始的規則のみによって証明せよ
５ Prove the following sequent by primitive rules alone:
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふことであれば、３つの中では、
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
２３４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
２３ （８） Ｑ ７ＤＮ
２ （９） Ｐ→ Ｑ ３８ＣＰ
（ア） ～（Ｐ＆～Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） ２９ＣＰ
イ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
１ イ （ウ） （Ｐ→Ｑ） アイＭＰＰ
１ イ （エ） Ｐ １ウＭＰＰ
１ （オ） ～（Ｐ＆～Ｑ）→ Ｐ イエＣＰ
カ （カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ Ａ
カ （キ） ～（Ｐ＆～Ｑ） カ＆Ｅ
１ カ （ク） Ｐ オキＭＰＰ
カ （ケ） ～Ｐ カ＆Ｅ
１ カ （コ） Ｐ＆～Ｐ クケ＆Ｉ
１ （サ）～～（Ｐ＆～Ｑ） カコＤＮ
１ （シ） （Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ サ∨Ｉ
ス （ス） Ｐ＆～Ｑ Ａ
ス （セ） Ｐ ス＆Ｅ
ソ（ソ） Ｐ Ａ
１ （タ） Ｐ シスセソソ∨Ｅ
（チ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １タＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
だけが「正解」であって、「他の２つ」は、「含意の定義・ド・モルガンの法則」を「計算」の中で、「証明」する分、どの途、（ⅲ）よりも、「長く」なる。
（01）
演繹メタ定理は、メタ定理の中でも最も重要である。論理体系のなかには、これを推論規則（"→" の導入規則）として採用したもの（自然演繹）もある（演繹定理：ウィキペディア）。
然るに、
（02）
連式表現がトートロジー的であるか否かを決めるために、それに対応する条件法を標準的な方法でテストしもよいのである。
連式に対して１０個の原始的規則のみを用いて証明が見出されるならば、その連式を、簡単な言いかたをとって、導出可能（deriable）であるとよぶことにしよう。―中略、―
メタ定理１：すべての導出可能な連式は、トートロジーである。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、９７頁）
然るに、
（03）
「E.J.レモンの、自然演繹の、１０個の原始的規則（10 primitive rules）」とは、
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ「規則」をいふ。
然るに、
（04）
そこで演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
定理２.２ ＡとＢは論理式で、Γ は論理式の有限の列であるとする。もし、
Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
Γ├ Ａ→Ｂ
である（長尾真・淵一広、論理と意味、1983年、４０頁）。
然るに、
（05）
Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
Γ├ Ａ→Ｂ
といふのは、
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
に、他ならない。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
メタ定理１：「（１０個の原始的規則によって）導出可能」な連式は、すべてがトートロジーである。
といふことを、「保証（確約）」してゐるは、他ならぬ、
⑤ 演繹定理（条件法的証明）
である。といふ、ことになる。
従って、
（07）
① 仮定（Ａ）
② 前件肯定（ＭＰＰ）
③ 後件否定（ＭＴＴ）
④ 二重否定（ＤＮ）
⑤ 条件法的証明（ＣＰ）
⑥ 連言導入（＆Ｉ）
⑦ 連言除去（＆Ｅ）
⑧ 選言導入（∨Ｉ）
⑨ 選言除去（∨Ｅ）
⑩ 背理法（ＲＡＡ）
といふ「規則」のみを用ひて、例へば、
⑪「含意の定義」 が「証明」されたとするならば、その「証明」の「正しさ」を、「保証（確約）」してゐるのは、「⑤ 演繹定理」であり、
⑫「ド・モルガンの法則」が「証明」されたとするならば、その「証明」の「正しさ」を、「保証（確約）」してゐるのは、「⑤ 演繹定理」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（08）
（ａ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ｂ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ｃ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（～Ｐ∨Ｑ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｉ
１２ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ｄ）～（～Ｐ∨Ｑ）├ Ｐ＆～Ｑ
１ （１）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） ～Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
１ ７（９）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
従って、
（02）（03）（07）（08）により、
（09）
⑪ Ｐ→ Ｑ ┤├ ～Ｐ∨ Ｑ
⑫ Ｐ＆～Ｑ ┤├ ～（～Ｐ∨Ｑ）
すなはち、
⑪「含意の定義」 は、「導出可能（deriable）」であり、
⑫「ド・モルガンの法則」も、「導出可能（deriable）」であるため、
⑪「含意の定義」は、 突き詰めて言ふと、「⑤ 演繹定理」だけから「導出された連式」であって、
⑫「ド・モルガンの法則」も、突き詰めて言ふと、「⑤ 演繹定理」だけから「導出された連式」である。
然るに、
（10）
５ 原始的規則あるい導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも、ともに用いて、証明せよ。
５ Using primitive or derived rules, together with any sequents or theorems already proved, prove;
（ｃ）├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁と、原文）
ｃｆ.
ただし、「E.J.レモン、論理学初歩」には、「練習問題の解答」は、載ってゐません。
然るに、
（11）
（ｃ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ① Ａ
１ （２） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ⑪ １含意の定義
３ （３） ～（Ｐ→ Ｑ） ① Ａ
４ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ① Ａ
４ （５） Ｐ→ Ｑ ⑪ ３含意の定義
３４ （６） ～（Ｐ→ Ｑ）＆
（Ｐ→ Ｑ） ⑥ ３５＆Ｉ
３ （７）～（～Ｐ∨ Ｑ） ⑩ ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｐ＆～Ｑ ⑫ ７ド・モルガンの法則
３ （９） Ｐ ⑥ ８＆Ｉ
ア（ア） Ｐ ① Ａ
１ （イ） Ｐ ⑨ ２３９アア∨Ｅ
（ウ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ ⑤ １イＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
（〃）
１ （１） Ｐ ① Ａ
（２） Ｐ→Ｐ ⑤１１ＣＰ（同一律）
（３） ～Ｐ∨Ｐ ⑪ ２含意の定義（排中律）
４ （４） ～Ｐ ① Ａ
４ （５） ～Ｐ∨Ｑ ⑧ ４∨Ｉ
４ （６） Ｐ→Ｑ ⑪ ４含意の定義
４ （７） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ⑥ ４６＆Ｉ
４ （８）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ⑫ ７ド・モルガンの法則
９ （９） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ ① Ａ
９ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ⑪ ９含意の定義
４９ （イ）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ⑥ ８ア＆Ｉ
４ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ⑩ ９イＲＡＡ
４ （エ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ⑧ ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｐ ① Ａ
オ（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ⑧ オ∨Ｉ
（キ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ⑨ ３４エオカ∨Ｅ
（ク） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ ⑪ キ含意の定義
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐ。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
⑬├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「連式」、すなはち、「パースの法則」も、「導出可能（deriable）」であるため、
③「パースの法則」も、突き詰めて言ふと、「⑤ 演繹定理」だけから「導出された連式」である。
（13）
例えば、
（ｄ）
１（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｑ １２ＣＰ
（〃）ＰであってＱならば、Ｐである。
といふ「証明」をした際に、その「証明」自体が「妥当」であることを、「⑤ 演繹定理」で「証明」したとすれば、
├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ≡ＰであってＱならば、Ｐである。
といふ「連式」が「恒真式（トートロジー）」であることを、最終的に「証明」したのは、「⑤ 演繹定理」である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
もう一度、確認すると、
⑬（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「パースの法則」は、「⑤ 演繹定理」だけから、導くことが、出来る。
然るに、
（15）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。
パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない。
（パースの法則 - Wikipedia）
従って、
（10）～（15）により、
（16）
（ａ）「E.J.レモン、論理学初歩」
（ｂ）「パースの法則 - Wikipedia」
に於いて、
（ａ）は、「パースの法則」は、「演繹定理だけ」から、 導くことが出来る。 と、言ってゐて、
（ｂ）は、「パースの法則」は、「演繹定理だけ」からでは導くことが出来ない。と、言ってゐる。
（01）
困難さの第二の理由には、自然演繹には「仮定の解消」（最初に仮定しておいて、あとでなかったことにする）という手続きがあり、それがなかなか理解しづらいことです。自然演繹は、「仮定の解消」のおかげで公理なしに演繹システムになり得ており、その意味で「仮定の解消」は自然演繹の本質だと言っても過言ではありません（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４４頁）。
従って、
（01）により、
（02）
自然演繹は、その「本質（仮定の解消）」が分かりにくい（？）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
① １ （１） Ｐ→Ｑ 仮定（Ａ）
② ２（２） Ｐ 仮定（Ａ）
③ １２（３） Ｑ １２前件肯定（ＭＰＰ）
④ １ （４） Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
⑤ （５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
然るに、
（04）
① １ （１）に於ける、
① １ といふのは、具体的には、（Ｐ→Ｑ） といふ「仮定」であって、
② ２（２）に於ける、
② ２ といふのは、具体的には、（Ｐ） といふ「仮定」であって、
③ １２（３）に於ける、
③ １２ といふのは、具体的には、（Ｐ→Ｑ，Ｐ）といふ「仮定」である。
④ １ （４）に於ける、
④ １ といふのは、具体的には、（Ｐ→Ｑ） といふ「仮定」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）
① １ （１） Ｐ→Ｑ 仮定（Ａ）
② ２（２） Ｐ 仮定（Ａ）
③ １２（３） Ｑ １２前件肯定（ＭＰＰ）
④ １ （４） Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
⑤ （５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
といふ「計算」は、
① Ｐ→Ｑ （１） Ｐ→Ｑ 仮定（Ａ）
② Ｐ （２） Ｐ 仮定（Ａ）
③ Ｐ→Ｑ，Ｐ（３） Ｑ １２前件肯定（ＭＰＰ）
④ Ｐ→Ｑ （４） Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
⑤ （５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
といふ「計算」に、「等しい」。
然るに、
（06）
① Ｐ→Ｑ （１） Ｐ→Ｑ 仮定（Ａ）
② Ｐ （２） Ｐ 仮定（Ａ）
③ Ｐ→Ｑ，Ｐ（３） Ｑ １２前件肯定（ＭＰＰ）
④ Ｐ→Ｑ （４） Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
⑤ （５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
といふ「計算」の「各行」を、「連式（Sequents）」で表すと、
① Ｐ→Ｑ ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ ├ Ｐ
③ Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
④ Ｐ→Ｑ ├ Ｐ→Ｑ
⑤ ├ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
といふ「式」になる。
然るに、
（07）
「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号（assertion-sign）、
├
を導入する。これは「故に」（therefore）と読むのが便利であろう。
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、１６頁）
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ→Ｑ ├ Ｐ→Ｑ
② Ｐ ├ Ｐ
③ Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
④ Ｐ→Ｑ ├ Ｐ→Ｑ
⑤ ├ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」は、「日本語」で言ふと、
① ＰであるならばＱである。 ので、ＰであるならばＱである。
② Ｐである。 ので、Ｐである。
③ ＰであるならばＱであって、Ｐである。ので、 Ｑである。
④ ＰであるならばＱである。 ので、ＰであるならばＱである。
⑤ ので、ＰであるならばＱである。ならば、ＰであるならばＱである。
といふ「意味」になる。
従って、
（05）（08）により、
（09）
（ⅰ）
① １ （１）Ｐ→Ｑ 仮定（Ａ）
② ２（２）Ｐ 仮定（Ａ）
③ １２（３） Ｑ １２前件肯定（ＭＰＰ）
④ １ （４）Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
に於ける、
④ １ （４）Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
といふ「行」を、仮に、
④ １２（４）Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
といふ風に、書くならば、
④ ＰであるならばＱである。 ので、ＰであるならばＱである。
といふ「意味」ではなく、
④ ＰであるならばＱであって、Ｐである。ので、ＰであるならばＱである。
といふ「意味」になる。
然るに、
（10）
④ ＰであるならばＱであって、Ｐである。ので、・・・・。
といふのであれば、
③ ＰであるならばＱであって、Ｐである。ので、Ｑである。
といふ、ことになる。
然るに、
（08）（09）（10）により、
（11）
③ ＰであるならばＱであって、Ｐである。ので、 Ｑである。
④ ＰであるならばＱである。 ので、ＰであるならばＱである。
といふ「日本語の意味」を、「区別」した上で、「連式」で表すとしたら、
③ Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
④ Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｐ→Ｑ
ではなく、
③ Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
④ Ｐ→Ｑ ├ Ｐ→Ｑ
といふ風に、書かざるを得ない。
然るに、
（03）（04）により、
（12）
もう一度、確認すると、
③ １２（３） Ｑ １２前件肯定（ＭＰＰ）
④ １ （４）Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
に於いて、
③ １２（３）に於ける、
③ １２ といふのは、具体的には、（Ｐ→Ｑ，Ｐ）といふ「仮定」である。
④ １ （４）に於ける、
④ １ といふのは、具体的には、（Ｐ→Ｑ） といふ「仮定」である。
従って、
（06）（11）（12）により、
（13）
その「連式」が、
③ Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
④ Ｐ→Ｑ ├ Ｐ→Ｑ
である以上、その「計算」は、
③ １２（３） Ｑ １２前件肯定（ＭＰＰ）
④ １ （４）Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
といふ風に、書かざるを得ない。
然るに、
（01）（12）（13）により、
（14）
③ １２（３） Ｑ １２前件肯定（ＭＰＰ）
④ １ （４）Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
に於いて、
③ １２（３） から、
④ １ （４） に変はる。
といふことは、
③ １２（３）には有った、
③ ２ といふ「仮定」が除かれて、
④ １ （４）に変はった。
といふことに、他ならず、このことを称して、小島寛之先生は、
自然演繹には「仮定の解消」（最初に仮定しておいて、あとでなかったことにする）という手続きがあり、それがなかなか理解しづらいことです。
といふ風に、述べてゐる。
然るに、
（15）
④「風邪を引いた」ので、「会社を休む」。
と言へるのであれば、
⑤「風邪を引いた」ならば「会社を休む」。
といふことが、言へなければならない。
従って、
（15）により、
（16）
④「Ｐである」ので、「Ｑである」。
と言へるのであれば、
⑤「Ｐである」ならば「Ｑである」。
といふことが、言へなければならない。
従って、
（16）により、
（17）
④「ＰであるならばＱである。」ので、「ＰであるならばＱである。」
と言へるのであれば、
⑤「ＰであるならばＱである。」ならば「ＰであるならばＱである。」
といふことが、言へなければならない。
従って、
（17）により、
（18）
④「ＰであるならばＱである。」ので、「ＰであるならばＱである。」
⑤「ＰであるならばＱである。」ならば「ＰであるならばＱである。」
に於いて、
④ から、
⑤ を「演繹」することは、「妥当」である。
従って、
（05）（08）（18）により、
（19）
④ １（４） Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
⑤ （５） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
④ Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
⑤ ├ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
④「ＰであるならばＱである。」ので、「ＰであるならばＱである。」
⑤「ＰであるならばＱである。」ならば「ＰであるならばＱである。」
に於いて、
④ から、
⑤ を「演繹」することは、「妥当」である。
然るに、
（20）
⑤（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
⑤ ├ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
⑤「ＰであるならばＱである。」ならば「ＰであるならばＱである。」
に於いて、
（Ｐ→Ｑ）＝Ｐ
といふ「代入（Substitutuion）」を行ふと、
⑤（５）Ｐ→Ｐ １４仮定の解消（ＣＰ）
⑤ ├ Ｐ→Ｐ
⑤「Ｐである。」ならば「Ｐである。」
となって、この「命題」は「同一律（tautology、同義語反復）」である。
従って、
（20）により、
（21）
⑤（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
⑤ ├ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
⑤「ＰであるならばＱである。」ならば「ＰであるならばＱである。」
といふ「式」は、
⑤（５）Ｐ→Ｐ １４仮定の解消（ＣＰ）
⑤ ├ Ｐ→Ｐ
⑤「Ｐである。」ならば「Ｐである。」
とふ「同一律」に対する、「代入例（Substitution instance）」である。
然るに、
（22）
⑤「同一律（ＰならばＰである）」は、「恒に、真」である。
然るに、
（23）
⑤「恒に真（tautology）」であるといふことは、「特定の仮定」に「依存」することなく、「恒に真（本当）である」。
といふことである。
従って、
（22）（23）により、
（24）
⑤「同一律（ＰならばＰである）」は、「特定の仮定」に「依存」することなく、「恒に真（本当）である」。
従って、
（21）（24）により、
（25）
⑤（５）Ｐ→Ｐ １４仮定の解消（ＣＰ）
⑤ ├ Ｐ→Ｐ
⑤「Ｐである。」ならば「Ｐである。」
とふ「同一律」に対する、「代入例（Substitution instance）」である、
⑤（５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
⑤ ├ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
⑤「ＰであるならばＱである。」ならば「ＰであるならばＱである。」
といふ「式」は、「特定の仮定」に「依存」することなく、「恒に真（本当）である」。
然るに、
（26）
①「風邪を引いた」ので、「会社を休む」。
⑤「風邪を引いた」ならば「会社を休む」。
に於いて、
① であれば、「已に、風邪を、引いてゐる （已然形）」。
⑤ であれば、「未だ、風邪は、引いてゐない（未然形）」。
従って、
（26）により、
（27）
①「風邪を引いた」ので、「会社を休む」。
⑤「風邪を引いた」ならば「会社を休む」。
に於いて、
①＝⑤ ではない。
従って、
（27）により、
（28）
① １（１） Ｐ→Ｑ 仮定（Ａ）
① Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
①「ＰであるならばＱである。」ので、「ＰであるならばＱである。」
⑤ （５） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
⑤ ├ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
⑤「ＰであるならばＱである。」ならば「ＰであるならばＱである。」
に於いても、
①＝⑤ ではない。
従って、
（19）（25）（28）により、
（29）
① １（１） Ｐ→Ｑ 仮定（Ａ）
① Ｐ→Ｑ├ Ｐ→Ｑ
①「ＰであるならばＱである。」ので、「ＰであるならばＱである。」
⑤ （５） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
⑤ ├ （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
⑤「ＰであるならばＱである。」ならば「ＰであるならばＱである。」
に於いて、
⑤は① から、「演繹」出来、
①＝⑤ では、決してなく、尚且つ、
⑤ は、「特定の仮定」に「依存」することなく、「恒に真（本当）である」。
従って、
（03）（04）（29）により、
（30）
（ⅰ）
① １ （１） Ｐ→Ｑ 仮定（Ａ）
② ２（２） Ｐ 仮定（Ａ）
③ １２（３） Ｑ １２前件肯定（ＭＰＰ）
④ １ （４） Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
⑤ （５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
といふ「計算」の「最後の行（同一律）」である、
⑤ （５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
に於いて、
⑤ と、（５）の間に、「仮定」があってはならない。
従って、
（30）により、
（31）
④ １ （４） Ｐ→Ｑ ２３仮定の解消（ＣＰ）
⑤ （５）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ） １４仮定の解消（ＣＰ）
に於いて、
④ １ （４）に有った、
④ １ といふ「仮定」が除かれて、
⑤ （５）に変はることなる。
然るに、
（32）
② Ｐ＆Ｑ≡Ｐであって、Ｑである。
から、
② Ｐ ≡Ｐである。
② Ｑ≡Ｑである。
を「演繹」することは、「妥当」である。
然るに、
（33）
② Ｐ＆Ｑ→Ｐ≡ＰであってＱである。ならば、Ｐである。
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ≡ＰであってＱである。ならば、Ｑである。
は、「特定の仮定」に「依存」することなく、「恒に真（本当）である」。
然るに、
（34）
（ⅱ）
１（１）Ｐ＆Ｑ 仮定
１（２）Ｐ １連言除去
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ １２仮定の解消（ＣＰ）
（ⅱ）
１（１）Ｐ＆Ｑ 仮定
１（２）Ｐ １連言除去
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｑ １２仮定の解消（ＣＰ）
従って、
（33）（34）により、
（35）
② Ｐ＆Ｑ→Ｐ≡ＰであってＱである。ならば、Ｐである。
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ≡ＰであってＱである。ならば、Ｑである。
といふ「恒真式（トートロジー）」は、
② 仮定の解消（ＣＰ）
② 仮定の解消（ＣＰ）
によって、「証明」されて、その結果として、「仮定」の数が「０個」である。
然るに、
（36）
（ⅱ）
１（１）Ｐ＆Ｑ 仮定
１（２）Ｐ １連言除去
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ １２仮定の解消（ＣＰ）
といふ「計算」は、
（１）で、「Ｐ＆Ｑ」 を「仮定」したら、
（２）で、「Ｐ 」 が得られたので、「仮定（１）」を解消してを、
（３）で、「Ｐ＆Ｑ→Ｐ」を得た。
といふ、「意味」である。
然るに、
（37）
興味のある定理の大ていのものは、事実上ＣＰを適用することによって導かれる。たとえば、
Most theorems of intrest are obtained in fact by application of CP. For example:
３８ ├ Ｐ→Ｐ（連式２９を参照）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １，１ ＣＰ
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、６４頁と、原文）
２９ Ｐ├ Ｐ
１（１）Ｐ Ａ
これ以上短い連式は証明できないし、またその証明は可能な最も短い証明である。
No shorter sequent than this can be proved, and its proof is the shortest possible proof.
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、４４頁と、原文）
従って、
（36）（37）により、
（38）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １，１ ＣＰ
といふ「計算」は、
（１）で、「Ｐ」 を「仮定」したら、
（１）で、「Ｐ」 が得られたので、「仮定（１）」を解消して、
（２）で、「Ｐ→Ｐ」を得た。
といふ、「意味」である。
ｃｆ.
従って、
（39）
自然演繹では、「Ｐ→Ｐ（ＰならばＰなり）」といふ「同一律（law of identity）」を、「仮定の解消（ＣＰ）」といふ「規則」を用ひて、「証明」出来る。
従って、
（39）により、
（40）
普通に考えると、素朴な恒真式（トートロジー）である、
Ｐ→Ｐ（ＰならばＰ）
とか、
あるいは、
Ｐ∨～Ｐ
などいつでも使える出発点（公理）として準備したほうがいいのではないか、と思うでしょう。しかし、そんな必要はないのです。なぜなら、どちらの恒真式も自然演繹で演繹できてしまうのです（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１４１頁）。といふ、ことになる。
ｃｆ.
―「排中律」の証明 ―
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
１ （８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
然るに、
（41）
パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。
命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う（ウィキペディア）。
然るに、
（42）
１ （１） Ｐ Ａ
（２） Ｐ→Ｐ １１ＣＰ（同一律）
（３） ～Ｐ∨Ｐ ２含意の定義（であって、排中律）
４ （４） ～Ｐ Ａ
４ （５） ～Ｐ∨Ｑ ４∨Ｉ
４ （６） Ｐ→Ｑ ４含意の定義
４ （７） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ４６＆Ｉ
４ （８）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ７ド・モルガンの法則
９ （９） （Ｐ→Ｑ）→ Ｐ Ａ
９ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ ９含意の定義
４９ （イ）～（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ）＆
（～（Ｐ→Ｑ）∨ Ｐ） ８ア＆Ｉ
４ （ウ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ） ９イＲＡＡ
４ （エ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｐ Ａ
オ（カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ オ∨Ｉ
（キ） ～（（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ３４エオカ∨Ｅ
（ク） （（Ｐ→Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ キ含意の定義
（〃） （（ＰならばＱ）ならばＰならば）Ｐである。
然るに、
（43）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ ７カＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅲ）Ｐ＆～Ｑ├ ～（～Ｐ∨Ｑ）
１ （１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｉ
１２ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅳ）～（～Ｐ∨Ｑ）├ Ｐ＆～Ｑ
１ （１）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） ～Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
１ ７（９）～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （ア） ～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｐ＆～Ｑ ６ア＆Ｉ
従って、
（43）により、
（44）
（ⅰ）Ｐ→ Ｑ ┤├ ～Ｐ∨ Ｑ
（ⅲ）Ｐ＆～Ｑ ┤├ ～（～Ｐ∨Ｑ）
すなはち、「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」は、「導出可能（deriable）」である。
然るに、
（45）
連式に対して１０個の原始的規則のみを用いて証明が見出されるならば、その連式を、簡単な言いかたをとって、導出可能（deriable）であるとよぶことにしよう。―中略、―
メタ定理１：すべての導出可能な連式は、トートロジーである。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、９７頁）
従って、
（41）（42）（45）により、
（46）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
といふ「公理（パースの法則）」は、「自然演繹によって、導出可能（deriable）」である。
従って、
（40）（46）により、
（47）
「自然演繹」は、
Ｐ→ Ｐ（同一律）
Ｐ∨～Ｐ（排中律）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ（パースの法則）
等を、「公理（Axioms）」とする「必要」が、無い。
（48）
（ａ）「E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳」では、「仮定の解消」ではなく、「条件的証明（ＣＰ）」を適用する際の、「取り除かれた仮定（discharged assumption）」といる「言ひ方」がされてゐる。
（ｂ）今書いた、「取り除かれた仮定」に関する「説明」は、私はさう考へるといふことであって、E.J.レモン先生が、そのやうに述べてゐる、といふわけではない。
（ｃ）「最初に仮定しておいて、あとでなかったことにする。」といふ点では、「背理法（ＲＡＡ）」、並びに、「選言除去（∨Ｅ）」もさうである。
（ｄ）私自身が考へる、「自然演繹」に於ける、「最も重要な規則」は、「選言導入（∨Ｉ）」である。