（500）「ド・モルガンの法則」と「含意の定義（Ⅰ・Ⅱ）」と「パースの法則」。

（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｅ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　１４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　２５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２８＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
①   ～Ｐ∨　Ｑ　≡不Ｐ如Ｑ。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡無Ｐ而不Ｑ。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（03）
（ⅱ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
（ⅲ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡無Ｐ而不Ｑ。
③     Ｐ→  Ｑ　≡如Ｐ則Ｑ。
に於いて、
②＝③ であって、この「等式」を「含意の定義（Ⅰ）」とする。
然るに、
（02）（04）により、
（05）
①   ～Ｐ∨　Ｑ　≡不Ｐ如Ｑ。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡無Ｐ而不Ｑ。
③     Ｐ→  Ｑ　≡如Ｐ則Ｑ。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
①   ～Ｐ∨　Ｑ　≡不Ｐ如Ｑ。
③     Ｐ→  Ｑ　≡如Ｐ則Ｑ。
に於いて、
①＝③ であって、この「等式」を「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（04）（06）により、
（07）
① Ｐ→Ｑ≡～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→Ｑ≡  ～Ｐ∨　Ｑ
といふ「等式」に於いて、
① を「含意の定義（Ⅰ）」とし、
② を「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（07）により、
（08）
① ＰならばＱである≡Ｐであって、Ｑでない。といふことはない（無Ｐ而不Ｑ）。
② ＰならばＱである≡Ｐであるか、Ｑである（不Ｐ如Ｑ）。
① を「含意の定義（Ⅰ）」とし、
② を「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（03）（05）により、
（09）
因みに言ふと、例へば、
（ⅲ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
といふ「計算」は、
（ⅲ）
１　（１）　如Ｐ則　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ而不Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　不Ｑ　　２＆Ｅ
１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
１２（６）　　不Ｑ而Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）無（Ｐ而不Ｑ）　２６ＲＡＡ
１　（〃）Ｐにして、Ｑならざるは無し。
といふ「計算」に「等しい」。
従って、
（09）により、
（10）
「命題計算（Propositional calculus）」は、「漢文（kanbun）」で行ふことが、出来る。
然るに、
（11）
①　（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
といふ「式」は、「交換法則」と「含意の定義（Ⅰ、Ⅱ）」により、
①　（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④　（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ風に、「書き換へる」ことが、出来る。
従って、
（12）
②　（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「式」は、「含意の定義（Ⅰ、Ⅱ）」と「交換法則」により、
①　（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③　（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④　（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
といふ風に、「書き換へる」ことが、出来る。
従って、
（11）（12）により、
（13）
「正式な計算」をするまでもなく、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（13）により、
（14）
①（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、予め、「確定」である。
然るに、
（15）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　Ａ
１　　　（２）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　１含意の定義（Ⅱ）
　２　　（３）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））　　　Ａ
　２　　（４）　　～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　３ド・モルガンの法則
　２　　（５）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　４交換法則
　２　　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　５＆Ｅ
　２　　（７）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　６含意の定義（Ⅰ）
　　８　（８）　　　（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ　　　　Ａ
　２８　（９）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　７８ＭＰＰ
　２　　（ア）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　５＆Ｅ
　２８　（イ）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　８９＆Ｉ
　２　　（ウ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　８イＲＡＡ
　２　　（エ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　ウ∨Ｉ
　　　オ（オ）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　　オ（カ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　オ∨Ｉ
１　　　（キ）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　２３エオカ∨Ｅ
１　　　（ク）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　キ含意の定義（Ⅱ）
（ⅱ）
１　　　（１）　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　Ａ
１　　　（２）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１含意の定義（Ⅱ）
　３　　（３）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　Ａ
　　４　（４）　～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　Ａ
　　４　（５）　　　（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ　　　　４含意の定義（Ⅰ）
　３４　（６）　～（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）＆
　　　　　　　　　（（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ）　　　３５＆Ｉ
　３　　（７）～～（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　４６ＲＡＡ
　３　　（８）　　（（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ）　　　６ＤＮ
　３　　（９）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　８＆Ｅ
　３　　（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　９含意の定義（Ⅰ）
　３　　（イ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　８＆Ｅ
　３　　（ウ）　　　～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ）　　　アイ＆Ｉ
　３　　（エ）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））　　　ウ、ド・モルガンの法則
　３　　（オ）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　エ∨Ｉ
　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　　カ（キ）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　カ∨Ｉ
１　　　（ク）　　～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ　１３オカキ∨Ｅ
１　　　（ケ）　　　（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　ク含意の定義（Ⅱ）
従って、
（15）により、
（16）
「正式な計算」によっても、果たして、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
「命題計算の暗算」が得意な人物がゐるとしたら、その人から見れば、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡　（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
②　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「一目瞭然」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（18）
①（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
①＝② であって、尚且つ、
①（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふことは、「当然」である以上、
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふことも、「当然」である。
然るに、
（20）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
といふ「記事」を読んだ際の、私自身は、その時はまだ、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡　（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
②　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふ「計算」を、行ってはゐなかった。
従って、
（21）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
と言はれてみると、確かに、さうであると、その時は、思へたのの、今の私は、自分で「計算」をしてみて、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡　（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
②　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふことを知ってゐる。
従って、
（20）（21）により、
（22）
私としては、（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）のオーナーの方に対して、「パースの法則は、少しも変ではない。」といふ風に、言はせて、貰いたい。
（23）
私としては、「パースの法則」そのものよりも、むしろ、「排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつとして」といふ「言ひ方」の方が「変」なのではといふ風に、思へて、ならない。