(01)
① P ≡ Pである。
② (~P)≡(Pでない)。
に於いて、
①&② は、「矛盾」である。
従って、
(01)により、
(02)
① P ≡ Pである。
② ~(~P)≡(Pでない)ではない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
③ P& Q ≡ Pであって、その上、Qである。
④ (~P∨~Q)≡(Pでないか、または、Qでないか、または、その両方である)。
に於いて、
③&④ は、「矛盾」である。
従って、
(03)により、
(04)
③ P& Q ≡ Pであって、その上、Qである。
④ ~(~P∨~Q)≡(Pでないか、または、Qでないか、または、その両方である)ではない。
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(05)
(ⅴ)
1 (1) P& Q& R A
2 (2) ~P∨ ~Q∨~R A
2 (3) ~P∨(~Q∨~R) 2結合法則
4 (4) ~P A
1 (5) P 1&E
1 4 (6) ~P&P 45&I
4 (7)~( P& Q& R) 16RAA
8 (8) (~Q∨~R) A
9 (9) ~Q A
1 (ア) Q 1&E
1 9 (イ) ~Q&Q 9ア&I
9 (ウ)~( P& Q &R) 19RAA
エ(エ) ~R A
1 (オ) R 1&E
1 エ(カ) ~R&R エオ&I
エ(キ)~( P& Q& R) 1カRAA
8 (ク)~( P& Q& R) 89ウエキ∨E
2 (ケ)~( P& Q& R) 3478ク∨E
12 (コ) ( P& Q& R)&
~( P& Q& R) 1ケ&I
1 (サ)~(~P∨~Q∨~R) 2コRAA
(ⅵ)
1 (1) ~(~P∨~Q∨~R) A
2 (2) ~P A
2 (3) ~P∨~Q 2∨I
2 (4) ~P∨~Q∨~R 3∨I
1 2 (5) ~(~P∨~Q∨~R)&
(~P∨~Q∨~R) 14&I
1 (6) ~~P 25RAA
1 (7) P 6DN
8 (8) ~Q A
8 (9) ~P∨~Q 7∨I
8 (ア) ~P∨~Q∨~R 8∨I
1 8 (イ) ~(~P∨~Q∨~R)&
(~P∨~Q∨~R) 1ア&I
1 (ウ) ~~Q 8RAA
1 (エ) Q ウDN
オ(オ) ~R A
オ(カ) ~Q∨~R オ∨I
オ(キ) ~P∨~Q∨~R カ∨I
1 オ(ク) ~(~P∨~Q∨~R)&
(~P∨~Q∨~R) 1オ&I
1 (ケ) ~~R オケRAA
1 (コ) R ケDN
1 (サ) P& Q 7エ&I
1 (シ) P& Q& R コサ&I
従って、
(05)により、
(06)
⑤ P& Q& R
⑥ ~(~P∨~Q∨~R)
に於いて、
⑤=⑥ である。
然るに、
(07)
(ⅶ)
1 (1) P∨( Q& R) A
2 (2) ~P&(~Q∨~R) A
3 (3) P A(代表的選言項)
2 (4) ~P 2&E
23 (5) P&~P 34&I
3 (6) ~{~P&(~Q∨~R)} 25RAA
7 (7) Q& R A(代表的選言項)
2 (8) ~Q∨~R 2&E
7 (9) Q 7&E
ア (ア) ~Q A(代表的選言項)
7ア (イ) Q&~Q 9ア&I
ア (ウ) ~(Q& R) 7イRAA
7 (エ) R 2&E
オ(オ) ~R A(代表的選言項)
7 オ(カ) R&~R エオ&I
オ(キ) ~(Q& R) 7カRAA
2 (ク) ~(Q& R) 8アウオキ∨E
2 7 (ケ)(Q&R)&~(Q& R) 7ク&I
7 (コ) ~{~P&(~Q∨~R)} 2ケRAA
1 (サ) ~{~P&(~Q∨~R)} 1367コ∨E
(ⅷ)
1 (1) ~{~P&(~Q∨~R)} 1367コ∨E
2 (2) ~{P∨( Q& R)} A
3 (3) P A
3 (4) P∨( Q& R) 3∨I
23 (5) ~{P∨( Q& R)}&
{P∨( Q& R)} 24&I
2 (6) ~P 3RAA
7 (7) (~Q∨~R) A(for背理法)
2 7 (8) ~P&(~Q∨~R) 67&I
12 7 (9) ~{~P&(~Q∨~R)}&
{~P&(~Q∨~R)} 18&I
12 (ア) ~(~Q∨~R) 79RAA
イ (イ) ~Q A(for背理法)
イ (ウ) ~Q∨~R イ∨I
12 イ (エ) ~(~Q∨~R)&
(~Q∨~R) アウ&I
12 (オ) ~~Q イエRAA
12 (カ) Q オDN
キ(キ) ~R A(for背理法)
キ(ク) ~Q∨~R キ∨I
12 キ(ケ) ~(~Q∨~R)&
(~Q∨~R) アク&I
12 (コ) ~~R キケRAA
12 (サ) R コDN
12 (シ) Q& R カサ&I
12 (ス) P∨( Q& R) シ∨I
12 (セ) ~{P∨( Q& R)}&
{P∨( Q& R)} 2ス&I
1 (ソ) ~~{P∨( Q& R)} 2RAA
1 (タ) P∨( Q& R) ソDN
従って、
(07)により、
(08)
⑦ P∨( Q& R)
⑧ ~{~P&(~Q∨~R)}
に於いて、
⑦=⑧ である。
従って、
(02)(04)(06)(08)により、
(09)
① P
② ~(~P)
③ P& Q
④ ~(~P∨~Q)
⑤ P& Q& R
⑥ ~(~P∨~Q∨~R)
⑦ P∨( Q& R)
⑧ ~{~P&(~Q∨~R)}
に於いて、
①=② であって、
③=④ であって、
⑤=⑥ であって、
⑦=⑧ である。
然るに、
(10)
(ⅰ)αとβが「矛盾」するならば、
(ⅱ)βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
α=~β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
α=~β
といふ「等式」を、「(定義による)ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
従って、
(09)(10)により、
(11)
① P
② ~(~P)
③ P& Q
④ ~(~P∨~Q)
⑤ P& Q& R
⑥ ~(~P∨~Q∨~R)
⑦ P∨( Q& R)
⑧ ~{~P&(~Q∨~R)}
に於ける、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
といふ「等式」は、4つとも、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(12)
⑦ P∨( Q& R)
⑧ ~{~P&(~Q∨~R)}
に加へて、( )の位置が、
⑦ (P∨ Q)& R
⑧ ~{(~P&~Q)∨~R}
であったとしも、
⑦&⑧ は、「矛盾」する。
従って、
(12)により、
(13)
⑦ P∨( Q& R)
⑧ ~{~P&(~Q∨~R)}
であれば、「矛盾」し、
⑦ (P∨ Q)& R
⑧ ~{(~P&~Q)∨~R}
であったとしも、「矛盾」するため、
⑦ P∨ Q& R
⑧ ~(~P&~Q∨~R)
は、いづれにせよ、「矛盾」する。
従って、
(10)(11)(12)(13)により、
(14)
① P
② ~(~P)
③ P& Q
④ ~(~P∨~Q)
⑤ P& Q& R
⑥ ~(~P∨~Q∨~R)
⑦ P∨ Q& R
⑧ ~(~P&~Q∨~R)
に於いて、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
といふ「等式」は、4つとも、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(14)により、
(15)
① P
② ~(~P)
③ P& Q
④ ~(~P∨~Q)
⑤ P& Q& R
⑥ ~(~P∨~Q∨~R)
⑦ P∨ Q& R
⑧ ~(~P&~Q∨~R)
に於いて、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
が故に、
① ~P
② ~~(~P)
③ ~(P& Q)
④ ~~(~P∨~Q)
⑤ ~(P& Q& R)
⑥ ~~(~P∨~Q∨~R)
⑦ ~(P∨ Q& R)
⑧ ~~(~P&~Q∨~R)
に於いて、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
従って、
(15)により、
(16)
「二重否定律」により、
① ~P
② (~P)
③ ~(P& Q)
④ (~P∨~Q)
⑤ ~(P& Q& R)
⑥ (~P∨~Q∨~R)
⑦ ~(P∨ Q& R)
⑧ (~P&~Q∨~R)
に於いて、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
従って、
(14)(15)(16)により、
(17)
① ~P
② ~P
③ ~(P& Q)
④ ~P∨~Q
⑤ ~(P& Q& R)
⑥ ~P∨~Q∨~R
⑦ ~(P∨ Q& R)
⑧ ~P&~Q∨~R
に於ける、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
⑦=⑧ である。
といふ「等式」は、4つとも、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(18)
① ~P
② ~P
③ ~(P& Q)
④ ~P∨~Q
⑤ ~(P& Q& R)
⑥ ~P∨~Q∨~R
⑦ ~(P∨ Q& R)
⑧ ~P&~Q∨~R
に於いて、例へば、
Q=~Q
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
① ~P
② ~P
③ ~(P& ~Q)
④ ~P∨~~Q
⑤ ~(P& ~Q& R)
⑥ ~P∨~~Q∨~R
⑦ ~(P∨ ~Q& R)
⑧ ~P&~~Q∨~R
に於ける、
①=②
③=④
⑤=⑥
⑦=⑧
といふ「等式」は、4つとも、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
従って、
(18)により、
(19)
「二重否定律」により、
① ~P
② ~P
③ ~(P&~Q)
④ ~P∨ Q
⑤ ~(P&~Q& R)
⑥ ~P∨ Q∨~R
⑦ ~(P∨~Q& R)
⑧ ~P& Q∨~R
に於ける、
①=②
③=④
⑤=⑥
⑦=⑧
といふ「等式」は、4つとも、「(定義による)ド・モルガンの法則」である。
従って、
(19)により、
(20)
⑦ ~(P∨~Q& R)
⑧ ~P& Q∨~R
がそうであるやうに、
⑦ P∨~Q& R
を「否定」すると、「(定義による)ド・モルガンの法則」により、
⑧ P は、~P となり、
⑧ ∨ は、 & となり、
⑧ ~Q は、 Q となり、
⑧ & は、 ∨ となり、
⑧ R は、~R となる。
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