自然数の４乗和－８

　いよいよ自然数の４乗和の公式が求まるところまできた。

（自然数の４乗和）＝n(n+1)(2n+1)×(ｎの２次式）×（定数）
であることを利用する。

(ｎの２次式）×（定数）＝ax^2+bx+c とおく。


　ｎ　　　　　n(n+1)(2n+1)　　　　４乗和　　　　　ax^2+bx+c　　
－－－＋－－－－－－－＋－－－－－＋－－－－－－－－－－
　１　　　　　　６　　　　　　　　　１　　　　　　　 a+b+c
　２　　　　　３０　　　　　　　　１７　　　　　　　4a+2b+c
　３　　　　　８４　　　　　　　　９８　　　　　　　9a+3b+c

この表から連立３元１次方程式ができる
　　a+b+c=1/6 ・・・・(1)
4a+2b+c=17/30　・・・・(2)
9a+3b+c=98/84　　・・・・(3)

これを解いて、a=1/10、b=1/10、 c=-1/30

ax^2+bx+c=x^2/10+x/10-1/30=(3x^2+3x-1)/30

できた！
（自然数の４乗和）＝n(n+1)(2n+1)(3x^2+3x-1)/30

あとはExcelで検算してみる。

　中学生がもし興味を持つのであれば、こんな筋道で自然数の４乗和の公式を求めたらいいのではないかと思う。必修の授業では触れる機会はないだろうが、３年選択の授業では触れることが出来ると思う。

おわり