体積問題［桜蔭中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１１年桜蔭中入試に出題された体積問題を取り上げます。

問題は、
「下の図のような、縦３ｃｍ、横４ｃｍの直方体があります。３点ア、イ、ウを通る平面で切ったときにできる２つの立体の体積の差は１５６ｃｍ3 になりました。この直方体の高さは何ｃｍ ですか。」

▲問題図

　
です。

早速、取り掛かりましょう。

下図のように、元の直方体から、アとウを通り直方体の底面と平行な平面（青色と赤色の平面）で切り取った小さい直方体（右側の図）を考えます。このとき、３点ア、イ、ウを通る平面と、直方体の左奥の辺との交点をエとしましょう。

▲図．アとウを通り直方体の底面に平行な平面で切り取った直方体を考えます

直方体の対向する面は平行なので、それらの面と平面アイウエの交線は平行になります。

つまり、直線アイと直線エウ、直線アエと直線イウはそれぞれ平行で、四角形アイウエは平行四辺形です。

すると、△Ａアエと△Ｂウイは、斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい直角三角形になるので、△Ａアエと△Ｂウイは合同で、線分Ａエの長さと線分Ｂイの長さは等しくなります。

したがって、小さい直方体を平面アイウエで切断してできる２つの切断四角柱は合同で、それらの体積は等しくなります。

つまり、元の直方体を３点ア、イ、ウを通る平面で切ったときにできる２つの立体の体積の差は、元の直方体で青色の平面より上側にある直方体の体積と、と赤色の平面より下側にある直方体の体積の差になります。

そこで、元の直方体の高さをｈとすると、
（上側の直方体の体積）＝３×４×３＝３６ｃｍ3
（下側の直方体の体積）＝３×４×（ｈ－６）＝１２ｈ－７２ｃｍ3
になり、これらの差が１５６ｃｍ3 であることから
１２ｈ－７２－３６＝１５６
が成り立ちます。

これを解いて、
１２ｈ＝２６４
ｈ＝２２
です。

以上から、元の直方体の高さは ２２ｃｍ で、これが答えです。


簡単な問題です。