約数の問題（２）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘中入試に出題された約数の問題を取り上げます。

問題は、
「３を８個かけてできる数 ３×３×３×３×３×３×３×３、すなわち６５６１の約数のうち、４で割ると１余るものは、１を含めて全部で［ ① ］個あります。
　また、３０を８個かけてできる数 ３０×３０×３０×３０×３０×３０×３０×３０ の約数のうち、４で割ると１余るものは、１を含めて全部で［ ② ］個あります。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

３×３×３×３×３×３×３×３ の約数は、
１
３
３×３
３×３×３
３×３×３×３
３×３×３×３×３
３×３×３×３×３×３
３×３×３×３×３×３×３
３×３×３×３×３×３×３×３
の９個です。

これらを４で割った余りは、一つ上にある数を４で割った余りに３をかけて、それを４で割った余りになります。

例えば、３×３×３×３ の４で割った余りは、
・その一つ上の数　　：　３×３×３＝２７
・４で割った余り　　：　２７÷４＝６・・・３
・余りに３をかける　：　３×３＝９
・４で割った余り　　：　９÷４＝２・・・１
というように計算できます。

これを利用して、３×３×３×３×３×３×３×３ の９個の約数を４で割った余りを計算していくと、
１　→　１
３　→　３
３×３　→　１
３×３×３　→　３
３×３×３×３　→　１
３×３×３×３×３　→　３
３×３×３×３×３×３　→　１
３×３×３×３×３×３×３　→　３
３×３×３×３×３×３×３×３　→　１
になり、これらの個数は５個です。

したがって、①は ５ で、これが答えです。

続いて、３０×３０×３０×３０×３０×３０×３０×３０ の約数です。

この数の約数は、先ほどの １、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に、２と５をそれぞれ０個から８個かけた数になります。

このなかで、２を２個以上かけた数は４の倍数になるので、４で割って１余る約数は、１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に５を０個から８個かけた数と、それらを２倍した数を調べればＯＫです。

まず、１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に５を０個かけた約数を調べましょう。

これらの数を４で割った余りは、前の結果から、順に、
１、３、１、３、１、３、１、３、１
で、４で割った余りが１となる約数の個数は５個です。

続いて、５を１個かけた数を４で割った余りは、順に、
１、３、１、３、１、３、１、３、１
で、４で割った余りが１となる約数の個数は５個です。

以下同様に、５を２個から８個かけた数を４で割った余りは、いずれも
１、３、１、３、１、３、１、３、１
になり、５のそれぞれの個数に対して、４で割った余りが１となる約数の個数は５個になります。

したがって、１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に５を０個から８個かけた約数のなかで、４で割って１余るものは、５×９＝４５個です。

次に、１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に５を０個から８個かけて２倍した約数を調べましょう。

１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ を２倍した数を４で割った余りは、
２、２、２、２、２、２、２、２、２
で、４で割った余りが１となる約数はありません。

５を１個かけた数を４で割った余りは、順に、
２、２、２、２、２、２、２、２、２
で、４で割った余りが１となる約数はありません。

以下同様に、５を２個から８個かけた数を４で割った余りは、いずれも
２、２、２、２、２、２、２、２、２
で、５のすべての個数に対して、４で割った余りが１となる約数はありません。

したがって、１、３、３×３、・・・、３×３×３×３×３×３×３×３ に５を０個から８個かけて２倍した約数のなかで、４で割って１余るものは、０個です。

以上から、②は ４５ で、これが答えです。


①を利用すれば②は簡単です。