整数問題（１５）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘中入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「４個の整数 ａ、ｂ、ｃ、ｄ があり、ｂ は ａ より １ 大きく、ｃ は ｂ より １ 大きく、ｄ は ｃ より １ 大きいです。
ａ×ｂ＋ｂ×ｃ＋ｃ×ｄ＋ｄ×ａ を計算すると、２４００になるとき、ａ は ［　　］です。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた式を変形して、
ａ×ｂ＋ｂ×ｃ＋ｃ×ｄ＋ｄ×ａ＝ａ×（ｂ＋ｄ）＋ｃ×（ｂ＋ｄ）
　　　　　　　　　　　　　 ＝（ａ＋ｃ）×（ｂ＋ｄ）　　　　　　　　　　　（１）
とします。

また、与えられた条件から
ｂ＝ａ＋１
ｃ＝ｂ＋１＝ａ＋２
ｄ＝ｃ＋１＝ａ＋３
なので、これらを（１）に代入すると、
（ａ＋ｃ）×（ｂ＋ｄ）＝（ａ＋ａ＋２）×（ａ＋１＋ａ＋３）
　　　　　　　　　　 ＝（２ａ＋２）×（２ａ＋４）
　　　　　　　　　　 ＝４×（ａ＋１）×（ａ＋２）　　　　　　　　　　　　（２）
になります。

ここで、（２）は２４００なので、
４×（ａ＋１）×（ａ＋２）＝２４００
（ａ＋１）×（ａ＋２）＝６００　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
が成り立ちます。

（３）は、連続する２つの整数の積が６００になるということなので、これを満たす整数の組合せを調べていくと、
（１，６００）、（２，３００）、（３、２００）、（４、１５０）、（５，１２０）、（６，１００）、（８，７５）、（１０，６０）、（１２，５０）、（１５，４０）、（２０，３０）、（２４，２５）
で、これから、
ａ＋１＝２４
です。

したがって、ａ＝２３ で、これが答えです。


簡単な問題です。