こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、２００７年開成高入試に出題された作図問題を取り上げます。
問題は、
「△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝６である。このとき、次の問いに答えよ。
（１）∠ＡＣＢ＝６０°であるとき、△ＡＢＣの外接円における弧ＡＣＢの長さを求めよ。
（２）∠ＡＣＢ＝３０°、ＣＢ≦ＣＡとし、さらに△ＡＢＣの面積を６√３とする。このとき、△ＡＢＣを作図せよ。
ただし、３点Ａ、Ｂ、Ｃは反時計回りに並ぶものとする。」
です。
まず図１のように、（１）の図を描きましょう。
▲図１．問題（１）の図を描きました
外接円の中心をＯとすると、∠ＡＯＢと∠ＡＣＢは中心角と円周角の関係なので、∠ＡＯＢ＝１２０°になります。
続いて図２のように、Ｏから線分ＡＢに垂線を下ろし、その足をＨとすると、△ＡＯＨは三角定規の直角二等辺三角形でないほうと相似な三角形で、
ＡＯ：ＡＨ＝２：√３
です。
▲図２．Ｏから線分ＡＢに垂線を下ろしました
ここで、ＡＢ＝６からＡＨ＝３なので、
ＡＯ＝３×２×１/√３＝２√３
です。
したがって、△ＡＢＣの外接円の直径は４√３で、その円周の長さは、４√３πです。
弧ＡＣＢの長さは、その中心角が２４０°の扇形の弧の長さですから、
（弧ＡＣＢの長さ）＝４√３π×２/３＝８√３π/３
で、これが答えです。
続いて（２）です。
△ＡＢＣの面積が６√３ということは、底辺をＡＢとすると、高さは２√３になり、これは正三角形の一辺と高さの関係を利用すれば作図できそうです。
そこで図３のように、線分ＡＢを一辺とする正三角形を描き、Ａ、Ｂでない頂点をＰとしましょう。
▲図３．線分ＡＢを一辺とする正三角形を描きました
このとき、ＡＢ（＝ＰＡ）：ＰＭ＝２：√３で、ＡＢ＝６からＰＭ＝３√３になります。
さらにＰとＡからそれぞれ線分ＡＢとＰＢに垂線を下ろし２本の垂線の交点をＧとすると、Ｇは正三角形ＰＡＢの重心なので、ＰＧ：ＧＭ＝２：１になり、このとき、ＰＭ＝３√３から、ＧＭ＝√３になります。
そこで図４のように、Ｇを中心として半径がＧＭの円を描き、その円周と線分ＰＭとの交点でＭでないほうをＱとすると、ＱＭ＝２√３になり、Ｑを通り直線ＡＢに平行な直線Ｌを引くと、Ｃは直線Ｌ上の点になります。
▲図４．Ｃは直線Ｌ上の点になります
あとは、直線Ｌ上にあって、∠ＡＣＢ＝３０°、ＣＢ≦ＣＡとなるＣを見つければＯＫで、これは円周角が中心角の１/２になることを利用すれば簡単です。
図５のように、Ｐを中心とし半径ＰＡの円Γを描くと中心角ＡＰＢ＝６０°から、弧ＡＢに対する円周角は３０°になるので、Ｃは円Γの円周上の点になります。
▲図５．Ｐを中心とし半径ＰＡの円Γを描くと、弧ＡＢに対する円周角は３０°になります
以上から、Ｃは直線Ｌと円Γの交点で、かつ、ＣＢ≦ＣＡを満たす点になり、したがって、△ＡＢＣは図５のようになります。
都立高校の作図問題に比べると少々難しいかもしれません。
今回は、２００７年開成高入試に出題された作図問題を取り上げます。
問題は、
「△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝６である。このとき、次の問いに答えよ。
（１）∠ＡＣＢ＝６０°であるとき、△ＡＢＣの外接円における弧ＡＣＢの長さを求めよ。
（２）∠ＡＣＢ＝３０°、ＣＢ≦ＣＡとし、さらに△ＡＢＣの面積を６√３とする。このとき、△ＡＢＣを作図せよ。
ただし、３点Ａ、Ｂ、Ｃは反時計回りに並ぶものとする。」
です。
まず図１のように、（１）の図を描きましょう。
▲図１．問題（１）の図を描きました
外接円の中心をＯとすると、∠ＡＯＢと∠ＡＣＢは中心角と円周角の関係なので、∠ＡＯＢ＝１２０°になります。
続いて図２のように、Ｏから線分ＡＢに垂線を下ろし、その足をＨとすると、△ＡＯＨは三角定規の直角二等辺三角形でないほうと相似な三角形で、
ＡＯ：ＡＨ＝２：√３
です。
▲図２．Ｏから線分ＡＢに垂線を下ろしました
ここで、ＡＢ＝６からＡＨ＝３なので、
ＡＯ＝３×２×１/√３＝２√３
です。
したがって、△ＡＢＣの外接円の直径は４√３で、その円周の長さは、４√３πです。
弧ＡＣＢの長さは、その中心角が２４０°の扇形の弧の長さですから、
（弧ＡＣＢの長さ）＝４√３π×２/３＝８√３π/３
で、これが答えです。
続いて（２）です。
△ＡＢＣの面積が６√３ということは、底辺をＡＢとすると、高さは２√３になり、これは正三角形の一辺と高さの関係を利用すれば作図できそうです。
そこで図３のように、線分ＡＢを一辺とする正三角形を描き、Ａ、Ｂでない頂点をＰとしましょう。
▲図３．線分ＡＢを一辺とする正三角形を描きました
このとき、ＡＢ（＝ＰＡ）：ＰＭ＝２：√３で、ＡＢ＝６からＰＭ＝３√３になります。
さらにＰとＡからそれぞれ線分ＡＢとＰＢに垂線を下ろし２本の垂線の交点をＧとすると、Ｇは正三角形ＰＡＢの重心なので、ＰＧ：ＧＭ＝２：１になり、このとき、ＰＭ＝３√３から、ＧＭ＝√３になります。
そこで図４のように、Ｇを中心として半径がＧＭの円を描き、その円周と線分ＰＭとの交点でＭでないほうをＱとすると、ＱＭ＝２√３になり、Ｑを通り直線ＡＢに平行な直線Ｌを引くと、Ｃは直線Ｌ上の点になります。
▲図４．Ｃは直線Ｌ上の点になります
あとは、直線Ｌ上にあって、∠ＡＣＢ＝３０°、ＣＢ≦ＣＡとなるＣを見つければＯＫで、これは円周角が中心角の１/２になることを利用すれば簡単です。
図５のように、Ｐを中心とし半径ＰＡの円Γを描くと中心角ＡＰＢ＝６０°から、弧ＡＢに対する円周角は３０°になるので、Ｃは円Γの円周上の点になります。
▲図５．Ｐを中心とし半径ＰＡの円Γを描くと、弧ＡＢに対する円周角は３０°になります
以上から、Ｃは直線Ｌと円Γの交点で、かつ、ＣＢ≦ＣＡを満たす点になり、したがって、△ＡＢＣは図５のようになります。
都立高校の作図問題に比べると少々難しいかもしれません。