日本数学オリンピックの簡単な問題（４８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

秋晴れを楽しみにしていたのですが、いまひとつパッとしない天気です。明日は雨模様ですが、明後日には回復するようなので、秋晴れの日曜日を期待しましょう。

さて、今回は２００１年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「∠ＡＢＣ＝２∠ＡＣＢとなる三角形ＡＢＣにおいて、∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとする。ＡＢ＝ＣＤのとき∠ＢＡＣは何度（°）か。ただし、線分ＸＹの長さをＸＹで表す。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

ＡＢ＝ＣＤという条件が離れていて扱い難いので、図２のように、線分ＣＤを上方に平行移動させ平行四辺形ＡＤＣＦを作りましょう。

▲図２．平行四辺形ＡＤＣＦを作りました

すると、平行線の錯角は等しいことから、
∠ＣＡＥ＝∠ＡＣＤ＝●
で、平行四辺形の対辺は等しいことから
ＡＤ＝ＥＣ　　　　　　　　（１）
です。

次に図３のように、ＢとＥを直線で結び、辺ＡＣとの交点をＦとし、△ＡＢＣと△ＥＣＢが合同であることを示します。

▲図３．ＢとＥを直線で結び、辺ＡＣとの交点をＦとしました

まず、△ＡＢＣの内角の和から
∠ＡＢＣ（２●）＋∠ＡＣＢ（●）＋∠ＢＡＣ（２■）＝３●＋２■＝１８０°　　　　（２）
です。

一方、△ＡＢＥの内角の着目すると、
∠ＢＡＥ（●＋２■）＋∠ＡＢＥ＋∠ＡＥＢ＝１８０°
で、
∠ＡＢＥ＋∠ＡＥＢ＝１８０°－（●＋２■）
です。

すると、（２）から
∠ＡＢＥ＋∠ＡＥＢ＝２●
になります。

ところが、△ＡＢＥは二等辺三角形なので、
∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ＝●
です。

したがって、
∠ＥＢＣ＝∠ＡＢＣ（２●）－∠ＡＢＥ（●）
　　　　＝●
　　　　＝∠ＡＣＤ
　　　　＝∠ＡＣＢ　　　　　（３）
です。

また、△ＦＢＣと△ＦＡＥはどちらも二等辺三角形なので、ＡＦ＝ＥＦ、ＢＦ＝ＣＦが成り立ちます。

すると、
ＡＣ＝ＡＦ＋ＣＦ
　　＝ＥＦ＋ＢＦ
　　＝ＦＢ　　　　　　　　　（４）
です。

さらに、
ＢＣ＝ＣＢ　　　　　　　　　（５）
で、以上（３）（４）（５）から△ＡＢＣ≡△ＥＣＢです。

したがって、ＡＢ＝ＥＣで、（１）から
ＡＢ＝ＡＤ
です。

つまり、図４に示すように、△ＡＢＤは二等辺三角形で、
∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ＝２●
になります。

▲図４．∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢです

最後に、△ＡＢＣと△ＡＢＤの内角の和に着目すると、
△ＡＢＣから
３●＋２■＝１８０°
で、△ＡＢＤから
４●＋■＝１８０°
が成り立ちます。

この２式から
■＝３６°
になり、
∠ＢＡＣ＝２■
　　　　＝２×３６°
　　　　＝７２°
で、これが答えです。


他には、図５のように、辺ＡＢをＡの方向に延長して二等辺三角形ＢＣＧを作るよき方も簡単そうです。興味のある人は調べてみてください。

▲図５．二等辺三角形ＢＣＧを作ります