こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
少し前は、朝晩は涼しくてよかったのですが、このところ暑さがぶり返してきたようで、今日も朝から蒸し暑くなりました。週末まで３０°超の残暑厳しい日が続きます。体調に気をつけて過ごしましょう。
さて、今回は２０１６年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「１以上２０１６以下の整数のうち、２０で割った余りが１６で割った余りより小さいものはいくつあるか。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
１から２０１６までの整数を小さい順に２０で割っていくと、その余りは、１、２、・・・、１９、０、１、２、・・・・、１９、０、１、２、・・・になり、０、１、２、・・・１９を繰り返します。（一番最初は、１、２、・・・１９です）
一方、１６で割った余りは、１、２、・・・、１５、０、１、２、・・・、１５、０、１、２、・・・になり、０、１、２、・・・１５を繰り返します。
したがって、これらの２つの余りの組み合わせは、２０と１６の最小公倍数８０を周期に繰り返すことになり、１以上８０以下の整数のうち、２０で割った余りが１６で割った余りよりも小さくなるものの個数を勘定すれば、答えにたどり着けそうです。
そこで、１以上８０以下の整数を２０と１６で割った余りを下表に示しました。
▲表．１以上８０以下の整数を２０と１６で割った余りです
↑
クリックすると大きくなります
この表で赤字にしたものが、２０で割った余りが１６で割った余りよりも小さくなるもので、それは２４個あります。
一方、２０１６÷８０＝２５・・・１６なので、１以上２０００以下の整数のうち条件を満たすものは、２４×２５＝６００個です。
さらに、２００１以上２０１５以下の整数では２０で割った余りと１６で割った余りは等しく、２０１６では２０で割った余り（＝１６）は１６で割った余り（＝０）より大きくなります。
以上から、１以上２０１６以下の整数のうち、２０で割った余りが１６で割った余りよりも小さいものは６００個で、これが答えです。
２０と１６で割った余りの組み合わせが、８０を周期として繰り返すことに気が付けば簡単な問題です。
少し前は、朝晩は涼しくてよかったのですが、このところ暑さがぶり返してきたようで、今日も朝から蒸し暑くなりました。週末まで３０°超の残暑厳しい日が続きます。体調に気をつけて過ごしましょう。
さて、今回は２０１６年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「１以上２０１６以下の整数のうち、２０で割った余りが１６で割った余りより小さいものはいくつあるか。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
１から２０１６までの整数を小さい順に２０で割っていくと、その余りは、１、２、・・・、１９、０、１、２、・・・・、１９、０、１、２、・・・になり、０、１、２、・・・１９を繰り返します。（一番最初は、１、２、・・・１９です）
一方、１６で割った余りは、１、２、・・・、１５、０、１、２、・・・、１５、０、１、２、・・・になり、０、１、２、・・・１５を繰り返します。
したがって、これらの２つの余りの組み合わせは、２０と１６の最小公倍数８０を周期に繰り返すことになり、１以上８０以下の整数のうち、２０で割った余りが１６で割った余りよりも小さくなるものの個数を勘定すれば、答えにたどり着けそうです。
そこで、１以上８０以下の整数を２０と１６で割った余りを下表に示しました。
▲表．１以上８０以下の整数を２０と１６で割った余りです
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この表で赤字にしたものが、２０で割った余りが１６で割った余りよりも小さくなるもので、それは２４個あります。
一方、２０１６÷８０＝２５・・・１６なので、１以上２０００以下の整数のうち条件を満たすものは、２４×２５＝６００個です。
さらに、２００１以上２０１５以下の整数では２０で割った余りと１６で割った余りは等しく、２０１６では２０で割った余り（＝１６）は１６で割った余り（＝０）より大きくなります。
以上から、１以上２０１６以下の整数のうち、２０で割った余りが１６で割った余りよりも小さいものは６００個で、これが答えです。
２０と１６で割った余りの組み合わせが、８０を周期として繰り返すことに気が付けば簡単な問題です。