ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（６２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

天気予報が外れて、晴れのいい天気になりました。これから雲が多くなるようですが、明日も晴れ間が見られ、雨がふるのは明後日以降になるようです。

さて、今回は２０１５年ジュニア数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「平面上に５点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｏがある。このうちＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄはこの順に同一直線上に並んでいて、Ｏはこの直線上にはない。ＯＡ＝１６、ＯＢ＝１０、ＯＣ＝９、ＯＤ＝１２、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤが成り立つとき、ＢＣ/ＡＤの値を求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

ここでは、以前取り上げた（ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（４６））ように、１つの角の角度が等しい三角形の面積比は、その角を成す２辺の積の比になることを利用するのがよいでしょう。図２は、以前の記事から転載したものです。

▲図２．１つの角の角度が等しい三角形の面積比は、その角を成す２辺の積の比になります

すると、△ＯＡＢと△ＯＣＤで、
（△ＯＡＢの面積）：（△ＯＣＤの面積）＝１６×１０：９×１２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝４０：２７
です。

ここで、△ＯＡＢと△ＯＣＤの底辺をそれぞれＡＢおよびＣＤとした場合、２つの三角形の高さは同じになるので、２つの三角形の面積比はそれぞれの三角形の底辺の長さの比になります。

つまり、
ＡＢ：ＣＤ＝４０：２７　　　　　　　　（１）　　　　
が成り立ちます。

続いて、△ＯＡＣと△ＯＢＤで、
∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ
∠ＢＯＤ＝∠ＢＯＣ＋∠ＣＯＤ
ですが、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤなので、
∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ
です。

これから
（△ＯＡＣの面積）：（△ＯＢＤの面積）＝１６×９：１０×１２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝６：５
で、先ほどと同様に、
ＡＣ：ＢＤ＝６：５　　　　　　　　　　（２）
が成り立ちます。

あとは、（１）（２）からＢＣ/ＡＤを求めればお仕舞いです。

まず、（２）から
ＡＣ/ＢＤ＝（ＡＢ＋ＢＣ）/（ＢＣ＋ＣＤ）＝６/５
で、これを整理して、
５（ＡＢ＋ＢＣ）＝６（ＢＣ＋ＣＤ）
ＢＣ＝５ＡＢ－６ＣＤ　　　　　　　　　（３）
です。

次に（１）から
ＡＢ/ＣＤ＝４０/２７
ＡＢ＝４０/２７・ＣＤ　　　　　　　　　（４）
で、（４）を（３）に代入して、
ＢＣ＝５・４０/２７・ＣＤ－６ＣＤ
　　＝３８/２７・ＣＤ　　　　　　　　　（５）　
です。

ここで、ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤに、（４）（５）を代入すると、
ＡＤ＝４０/２７・ＣＤ＋３８/２７・ＣＤ＋ＣＤ
　　＝１０５/２７・ＣＤ
ですから、
ＢＣ/ＡＤ＝（３８/２７・ＣＤ）/（１０５/２７・ＣＤ）
　　　　 ＝３８/１０５
で、これが答えです。

　　　　
１つの角の角度が等しい三角形の面積比が、その角を成す２辺の積の比になることを知っていれば簡単な問題でした。