ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（７４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

秋雨前線が関東にかかっていて、小雨が降ったり止んだりの空模様です。この秋雨前線は、明後日には東に遠ざかり、晴れ間が見られるようです。ところが、南の海上に、また台風が発生して、今は台湾に向かって西進しています。来週末あたりに日本に近づいてきそうです。

さて、今回は２００７年ジュニア数学オリンピックに出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ、ＢＤは四角形の内部の点Ｐで交わっている。ＡＣ＝２、ＢＤ＝３、∠ＡＰＢ＝６０°であるとき、ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡがとりうる最小値を求めよ。」
です。

初めに、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

２点間の距離が最小になるのは、２点を直線で結んだときなので、両端が固定点になる２点の間に、四角形の４辺を上手く並べることができれば、それらの和の最小値は２つの固定点間の距離になり、簡単に最小値が判るのですが、これは少しハードルが高そうです。

そこで、４辺を２辺ずつに分けて、それぞれが両端が固定点になるように並べましょう。（←これは簡単です）

まず、図２のように、線分ＡＣを平行移動して線分ＢＦと線分ＤＥをつくり、さらに、ＢＤを平行移動して線分ＦＥをつくります。（このとき、四角形ＡＢＣＤが決まれば、Ｅ、Ｆは決まるので固定点になります）

▲図２．線分ＡＣ、ＢＤを平行移動して、線分ＤＥ、ＦＥをつくりました

すると、四角形ＡＣＥＤ、ＡＢＦＣはどちらも平行四辺形なので、ＡＤ＝ＣＥ、ＡＢ＝ＣＦになり、四角形の２辺ＤＡとＢＣと同じ長さ線分を固定点ＢとＥの間に、また、２辺ＡＢとＣＤと同じ長さの線分を固定点ＤとＦの間に上手く置くことができました。

そこで、ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡをＬとすると、
Ｌ＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ
　＝ＣＦ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＣＥ
　＝（ＣＢ＋ＣＥ）＋（ＣＤ＋ＣＦ）
で、Ｌが最小になるのは、Ｃが四角形ＢＦＥＤの対角線の交点になるときであることが判ります。

一方、四角形ＢＦＥＤは、ＢＦ//ＤＥ、ＢＤ//ＦＥなので、平行四辺形で、∠ＢＦＧ＝６０°です。（直線ＥＦにＢから垂線を下ろし、その足をＧとしました）

そこで、図３のように、平行四辺形ＢＦＥＤを抜き出し、その対角線の交点をＣ’としましょう。

▲図３．平行四辺形ＢＦＥＤと対角線の交点をＣ’にしました

すると、
（Ｌの最小値）＝（Ｃ’Ｂ＋Ｃ’Ｅ）＋（Ｃ’Ｄ＋Ｃ’Ｆ）
　　　　　　　　＝ＢＥ＋ＤＦ
で、ＢＥ、ＤＦの長さは、三平方の定理から
ＢＥ^2＝ＥＧ^2＋ＢＧ^2
　　　＝４^2＋√３^2
　　　＝１９
ＢＥ＝√１９
になり、
ＤＦ^2＝ＦＨ^2＋ＤＨ^2
　　　＝２^2＋√３^2
　　　＝７
ＤＦ＝√７
になるので、
（Ｌの最小値）＝√１９＋√７
です。

したがって、四角形ＡＢＣＤの４辺の和ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡがとりうる最小値は、√１９＋√７で、これが答えです。


四角形ＡＢＣＤが平行四辺形のとき、つまり、Ｐが対角線ＡＣとＢＤの中点のときに、Ｌは最小になり、余弦定理を使って、
（Ｌの最小値）＝２√（ＰＡ^2＋ＰＢ^2－２・ＰＡ・ＰＢｃｏｓ６０°）＋２√（ＰＣ^2＋ＰＤ^2－２・ＰＣ・ＰＤｃｏｓ１２０°）
　　　　　　　＝２√（１＋９/４－２・１・３/２・１/２）＋２√（１＋９/４－２・１・３/２・（－１/２））
　　　　　　　＝２√（７/４）＋２√（１９/４）
　　　　　　　＝√７＋√１９
と求めることができます。興味のある人は調べてみてください。