日本数学オリンピックの簡単な問題（４１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今日は十五夜で、近所のスーパーマーケットで、すすきを買っているお客さんがいました。今は空一面雲ですが、夜には少し雲が切れて、月が顔を出すといいですね。秋晴れはまだ先のようです。

さて、今回は２００１年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「縦の長さが８、横の長さが７の長方形の中に、５つの合同な正方形が下図のように詰めこまれている。正方形の一辺の長さを求めよ。」
です。

▲問題図

長方形の縦と横の長さが与えられているので、２つの変数を使ってそれらの長さを表すことができれば、２元連立方程式を解くことで答えにたどり着けそうです。

そこで正方形の一辺を斜辺とする直角三角形を、長方形の縦と横方向に並べることにしましょう。

まず、図１のようなｘ、ｙ軸に対して傾いた正方形ＡＢＣＤを考えます。

▲図１．傾いた正方形ＡＢＣＤを考えます

ここで、正方形の頂点ＡとＣからｙ軸に平行な直線と、頂点ＢとＤからｘ軸に平行な直線を引き、それらの交点をＥ、Ｆ、Ｇ、Ｈとすると、
∠ＡＦＢ＝∠ＢＧＣ＝∠ＣＨＤ＝∠ＤＥＡ＝９０°
です。

次に、ＣＨの延長と辺ＡＤとの交点を Ｉ とすると、ＢＣ//ＡＤで平行線の錯角は等しいので、
∠ＢＣＧ＝∠ＤＩＣ
です。

さらに、ＡＦ//ＩＣで平行線の同位角は等しいので、
∠ＤＩＣ＝∠ＤＡＥ
です。

一方、∠ＤＡＢ＝∠ＢＣＤ＝９０°なので、
∠ＢＡＦ＝９０°－∠ＤＡＥ（●）
∠ＤＣＨ＝９０°－∠ＢＣＧ（●）
です。

さらに、△ＡＢＦと△ＣＤＧの内角の和から
∠ＡＢＦ＝１８０°－９０°－∠ＢＡＦ
　　　　＝９０°－（９０°－∠ＤＡＥ（●））
　　　　＝∠ＤＡＥ（●）
∠ＣＤＨ＝１８０°－９０°－∠ＤＣＨ
　　　　＝９０°－（９０°－∠ＢＣＧ（●））
　　　　＝∠ＢＣＧ（●）　　
になり、
∠ＡＢＦ＝∠ＢＣＧ＝∠ＣＤＨ＝∠ＤＡＥ＝●が成り立ちます。

したがって、△ＡＢＦ、△ＢＣＧ、△ＣＤＨ、△ＤＡＥは、斜辺と一つの鋭角が等しい直角三角形なので、これらは合同になります。

ここで、これらの直角三角形の斜辺を除いた、長い辺の長さをａ、短い辺の長さをｂとします。

続いて、図３のように、この直角三角形を問題図の縦方向に並べます。

▲図３．直角三角形を縦方向に並べました

図３から
３ａ＋２ｂ＝８　　　　　　（１）
が成り立ちます。

次に、図４のように、横方向に並べます。

▲図４．直角三角形を横方向に並べました

図４から
３ａ＋ｂ＝７　　　　　　　（２）
が成り立ちます。

ここで、（１）（２）を解くと、
ａ＝２
ｂ＝１
で、求める正方形の一辺の長さは、直角三角形の斜辺になるので、三平方の定理から
（正方形の一辺の長さ）＝√（ａ^2＋ｂ^2）
　　　　　　　　　　　＝√（４＋１）
　　　　　　　　　　　＝√５
で、これが答えです。


楽しい問題でした。