中学入試問題（２６）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

幸いなことに、昨夜の雨は雪になりませんでした。ラジオで、この冬一番の寒さと言っていましたが、明日はぐっと暖かくなるようです。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「深さ１５ｃｍの直方体の形をした水槽が水平な床の上にあります。下の図のように、この水槽の中には、同じ形をした高さ１５ｃｍの四角柱が５本入っていて、この水槽に深さ９ｃｍになるまで水を入れても、四角柱の底面は水槽の底面に接していました。この状態から四角柱を２本取り除くと、水の深さは７ｃｍになりました。さらに残りの四角柱３本を取り除くと、水の深さは［　　］ｃｍになります。」
です。

▲問題図

水槽と四角柱の底面積を変数として連立方程式を作れば簡単に答えを求めることができますが、ここでは連立方程式を使わないで解いてみましょう。

図１のように、四角柱の底面積をａ、水槽の底面積から３本分の四角柱の底面積を引いた面積をｂとします。

▲図１．四角柱の底面積をａ、水槽の底面積から３本分の四角柱の底面積を引いた面積をｂとしました

ここで、四角柱が５本入っている状態から３本になった状態にすると、水面は２ｃｍ下がり、その減少した体積は２ｂ（ｃｍ3）です。（四角柱が水でできていると考えると判りやすいかも知れません）

また、これは取り除いた２本の四角柱の体積（９ａ×２ｃｍ3）に等しいので、
９ａ×２＝２ｂ
９ａ＝ｂ
ａ＝１/９×ｂ　　　　（１）
です。

さらに、残った３本の四角柱を取り除いたときの水槽の底面積はｂ＋３ａで、これと（１）から
ｂ＋１/９×３ｂ＝４/３×ｂ
となります。

そこで、四角柱が入っていないときの水面の高さをｈとすると、四角柱が３本入っているときと入っていないときで水の体積は等しいので、
ｂ×７＝４/３×ｂ×ｈ
が成り立ち、これをｈについて解くと、
ｈ＝２１/４＝５．２５ｃｍ
となり、これが答えです。


連立方程式に慣れてしまうと、それを使わない解き方は難しくなってしまいます。もっとスマートな解き方をご存知であれば、是非、ご教示ください。