こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
三が日は穏やかな日が続きましたが、今日も晴れて暖かい日になりました。明日は今日より少し寒くなるようで、さらに明後日からはぐっと冷え込むようです。特に受験生の皆さんは風邪など引かぬよう暖かくして勉強してください。
さて、今回は平成２７年度灘中の入試問題です。
問題は、
「１/４３を小数で表すと、１/４３＝０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・となり、２１桁ごとに同じ数字をくり返す小数になります。そして、１/４３、２/４３、・・・、４２/４３はどれも、２１桁ごとに同じ数字をくり返す小数になります。
次の［（１）］、［（２）］に、１以上４２以下の整数を入れなさい。
［（１）］/４３を小数で表すと、小数第１２位が８、小数第１３位が３になります。
［（２）］/４３を小数で表すと、小数第１２位が３、小数第１３位が９になります。」
です。
早速、［（１）］から片付けましょう。
与えられた循環小数の小数第１２位と１３位を赤色でマークしました。
１/４３＝０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
この小数第１２位と１３位が、それぞれ８と３になるということなので、与えられた循環小数から「８３」という数字の並びを探します。すると、
０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
の青色でマークしたところが見つかりました。
ここで、小数第１２位と１３位を赤色でマークした循環小数と「８３」を青色でマークした循環小数を並べてみると、
０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
となり、下の循環小数を１０００倍すると、「８３」が小数第１２位と１３位に移動することが判ります。
そこで、１/４３＝０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・の両辺を１０００倍しましょう。
すると、右辺の小数第１２位と１３位は、それぞれ８と３になるので、左辺の１/４３×１０００を（整数＋ｎ/４３）という形で表せば、ｎが［（１）］になります。
あとは、
１/４３×１０００＝１/４３（４３×２３＋１１）
＝２３＋１１/４３
と変形すれば［（１）］は１１で、これが答えです。
続いて［（２）］です。
先ほどと同じように、与えられた循環小数から「３９」という数字の並びを探して紫色でマークし、小数第１２位と１３位の位置と比べてみます。
すると、
０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
となり、下の循環小数を１/１０００倍すると、「３９」が小数第１２位と１３位に移動することが判ります。
ところが、先ほどとは違って１/４３×１/１０００を（整数＋ｎ/４３）にできないので、与えられた循環小数が２１桁ごとに同じ数字をくり返すことを利用します。
２１桁ごとに同じ数字をくり返すということは、１０^21を掛けたとき小数部分が同じになるということなので、与えられた循環小数の両辺に１０^21/１０００（つまり、１０^18）を掛けた場合も、右辺の小数第１２位と１３位は、それぞれ３と９になります。
したがって、左辺の１/４３×１０^18 を（整数＋ｎ/４３）という形で表せば、ｎが［（２）］になります。
そこで、１０^18÷４３を筆算してｎを計算すると、
１０００，０００，０００，０００，０００，０００÷４３＝２３，２５５，８１３，９５３，４８８，３７２ あまり４
となり、［（２）］は４で、これが答えです。
他の計算方法としては、１/４８×１０００＝１/４８×１０^3＝２３＋１１/４３を利用して、
１/４３×１０^18＝１/４３×１０^3×１０^15＝（２３＋１１/４３）×１０^15
とし、これから小数部分を取り出して、
１１/４３×１０^3×１０^12＝１１×（２３＋１１/４３）×１０^15
とします。そして、これをくり返すことにより、
１１^6×１/４３＝１７７１５６１÷４３＝４１１９９ 余り４
などと計算することもできます。
答えは以上なのですが、気になるのが、条件を満たす分母が４３の分数が答え以外にないのかということです。
実は、循環小数の循環節（同じ数字がくり返すかたまり）は、分子の異なる分数で最初の数字が異なるものの同じ数字をくり返します。
例えば、４/４３の循環節は、
０９３０２３２５５８１３９５３４８８３７２
となり、１/４３の循環節
０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３
の右から３つ目の数字（０）から始まり、後は同じ数字の順番になります。（以降、これを同じ循環節グループと呼びます） そして、これは、同じ循環節グループに属する他の分子についても同様です。
つまり、同じ循環節グループに属する分母が４３の分数で、問題の「８３」または「３９」という数字の並びを複数もつようなことなどはないということです。
ここで、同じ循環節グループに属すると書きましたが、実は、ｎ/４３は２種類の循環節グループをもちます。
その一つは、与えられた循環小数にある
０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３ （Ａ）
で、もう一つは、
０４６５１１６２７９０６９７６７４４１８６ （Ｂ）
です。
（Ａ）グループに属するのは、分子が
１、４、６、９、１０、１１、１３、１４、１５、１６、１７、２１、２３、２４、２５、３１、３５、３６、３８、４０、４１
の分数で、
（Ｂ）グループに属するのは、分子が、
２、３、５、７、８、１２、１８、１９、２０、２２、２６、２７、２８、２９、３０、３２、３３、３４、３７、３９、４２
の分数です。そして、それぞれのグループに２１個ずつあります。
この（Ｂ）グループに属する分数でも、（Ａ）グループに属する分数と同様に、分子の異なる分数で最初の数字が異なるものの同じ数字をくり返します。
例えば、（Ｂ）は２/４３の循環節ですが、３/４３の循環節は、
０６９７６７４４１８６０４６５１１６２７９
で、（Ｂ）の左から１１番目の数字（０）から始まり、後は（Ｂ）と同じ数字の順番になっています。
そして、（Ｂ）グループの循環節には「８３」または「３９」の数字の並びがないので、問題の答えの分数は（Ｂ）グループにはないということが判ります。
以上から、上記した答えは唯一のものになります。
因みに、（Ａ）（Ｂ）とも
０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３ （Ａ）
０４６５１１６２７９０６９７６７４４１８６ （Ｂ）
のように、「７＊０」という数字の並びを持つので、例えば、小数第１２位が「７」、第１４位が「０」となる分母が４３の分数は、（Ａ）（Ｂ）両方にあることになります。
ここ３回ほど最難関中学の算数入試問題を調べてきましたが、小６生が取り組んでいるとは思えないレベルです。大したものです。
三が日は穏やかな日が続きましたが、今日も晴れて暖かい日になりました。明日は今日より少し寒くなるようで、さらに明後日からはぐっと冷え込むようです。特に受験生の皆さんは風邪など引かぬよう暖かくして勉強してください。
さて、今回は平成２７年度灘中の入試問題です。
問題は、
「１/４３を小数で表すと、１/４３＝０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・となり、２１桁ごとに同じ数字をくり返す小数になります。そして、１/４３、２/４３、・・・、４２/４３はどれも、２１桁ごとに同じ数字をくり返す小数になります。
次の［（１）］、［（２）］に、１以上４２以下の整数を入れなさい。
［（１）］/４３を小数で表すと、小数第１２位が８、小数第１３位が３になります。
［（２）］/４３を小数で表すと、小数第１２位が３、小数第１３位が９になります。」
です。
早速、［（１）］から片付けましょう。
与えられた循環小数の小数第１２位と１３位を赤色でマークしました。
１/４３＝０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
この小数第１２位と１３位が、それぞれ８と３になるということなので、与えられた循環小数から「８３」という数字の並びを探します。すると、
０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
の青色でマークしたところが見つかりました。
ここで、小数第１２位と１３位を赤色でマークした循環小数と「８３」を青色でマークした循環小数を並べてみると、
０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
となり、下の循環小数を１０００倍すると、「８３」が小数第１２位と１３位に移動することが判ります。
そこで、１/４３＝０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・の両辺を１０００倍しましょう。
すると、右辺の小数第１２位と１３位は、それぞれ８と３になるので、左辺の１/４３×１０００を（整数＋ｎ/４３）という形で表せば、ｎが［（１）］になります。
あとは、
１/４３×１０００＝１/４３（４３×２３＋１１）
＝２３＋１１/４３
と変形すれば［（１）］は１１で、これが答えです。
続いて［（２）］です。
先ほどと同じように、与えられた循環小数から「３９」という数字の並びを探して紫色でマークし、小数第１２位と１３位の位置と比べてみます。
すると、
０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
０．０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３０２・・・
となり、下の循環小数を１/１０００倍すると、「３９」が小数第１２位と１３位に移動することが判ります。
ところが、先ほどとは違って１/４３×１/１０００を（整数＋ｎ/４３）にできないので、与えられた循環小数が２１桁ごとに同じ数字をくり返すことを利用します。
２１桁ごとに同じ数字をくり返すということは、１０^21を掛けたとき小数部分が同じになるということなので、与えられた循環小数の両辺に１０^21/１０００（つまり、１０^18）を掛けた場合も、右辺の小数第１２位と１３位は、それぞれ３と９になります。
したがって、左辺の１/４３×１０^18 を（整数＋ｎ/４３）という形で表せば、ｎが［（２）］になります。
そこで、１０^18÷４３を筆算してｎを計算すると、
１０００，０００，０００，０００，０００，０００÷４３＝２３，２５５，８１３，９５３，４８８，３７２ あまり４
となり、［（２）］は４で、これが答えです。
他の計算方法としては、１/４８×１０００＝１/４８×１０^3＝２３＋１１/４３を利用して、
１/４３×１０^18＝１/４３×１０^3×１０^15＝（２３＋１１/４３）×１０^15
とし、これから小数部分を取り出して、
１１/４３×１０^3×１０^12＝１１×（２３＋１１/４３）×１０^15
とします。そして、これをくり返すことにより、
１１^6×１/４３＝１７７１５６１÷４３＝４１１９９ 余り４
などと計算することもできます。
答えは以上なのですが、気になるのが、条件を満たす分母が４３の分数が答え以外にないのかということです。
実は、循環小数の循環節（同じ数字がくり返すかたまり）は、分子の異なる分数で最初の数字が異なるものの同じ数字をくり返します。
例えば、４/４３の循環節は、
０９３０２３２５５８１３９５３４８８３７２
となり、１/４３の循環節
０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３
の右から３つ目の数字（０）から始まり、後は同じ数字の順番になります。（以降、これを同じ循環節グループと呼びます） そして、これは、同じ循環節グループに属する他の分子についても同様です。
つまり、同じ循環節グループに属する分母が４３の分数で、問題の「８３」または「３９」という数字の並びを複数もつようなことなどはないということです。
ここで、同じ循環節グループに属すると書きましたが、実は、ｎ/４３は２種類の循環節グループをもちます。
その一つは、与えられた循環小数にある
０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３ （Ａ）
で、もう一つは、
０４６５１１６２７９０６９７６７４４１８６ （Ｂ）
です。
（Ａ）グループに属するのは、分子が
１、４、６、９、１０、１１、１３、１４、１５、１６、１７、２１、２３、２４、２５、３１、３５、３６、３８、４０、４１
の分数で、
（Ｂ）グループに属するのは、分子が、
２、３、５、７、８、１２、１８、１９、２０、２２、２６、２７、２８、２９、３０、３２、３３、３４、３７、３９、４２
の分数です。そして、それぞれのグループに２１個ずつあります。
この（Ｂ）グループに属する分数でも、（Ａ）グループに属する分数と同様に、分子の異なる分数で最初の数字が異なるものの同じ数字をくり返します。
例えば、（Ｂ）は２/４３の循環節ですが、３/４３の循環節は、
０６９７６７４４１８６０４６５１１６２７９
で、（Ｂ）の左から１１番目の数字（０）から始まり、後は（Ｂ）と同じ数字の順番になっています。
そして、（Ｂ）グループの循環節には「８３」または「３９」の数字の並びがないので、問題の答えの分数は（Ｂ）グループにはないということが判ります。
以上から、上記した答えは唯一のものになります。
因みに、（Ａ）（Ｂ）とも
０２３２５５８１３９５３４８８３７２０９３ （Ａ）
０４６５１１６２７９０６９７６７４４１８６ （Ｂ）
のように、「７＊０」という数字の並びを持つので、例えば、小数第１２位が「７」、第１４位が「０」となる分母が４３の分数は、（Ａ）（Ｂ）両方にあることになります。
ここ３回ほど最難関中学の算数入試問題を調べてきましたが、小６生が取り組んでいるとは思えないレベルです。大したものです。