中学入試問題（１７）［灘中］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今朝、教室に来る途中の道は凍結しているところもあったので、ゆっくり気を付けて歩いてきました。特に受験生の皆さんは、怪我などしないように慎重に歩きましょう。

さて、今回は平成２８年度灘中の入試問題です。

問題は、
「下の図のような正六角形ＡＢＣＤＥＦがあり、点Ｐ、Ｑ、Ｒは、それぞれ辺ＡＢ、ＢＣ、ＤＥの真ん中の点です。２本の直線ＰＲ、ＱＦは点Ｓで交わっています。このとき、三角形ＱＲＳの面積は、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の［　］倍です。」
です。

▲問題図

簡単そうな図形問題で、点Ｓの位置を決めることができれば解決できそうです。

点Ｓは線分ＰＲと線分ＦＱ上にありますが、ここでは線分ＰＲのほうが制約的（例えば、正六角形の中心を通る）なので、線分ＰＲを基準にして点Ｓの位置を決めるのがよいでしょう。

そこで、図１のように線分ＰＲに直交する線分ＣＦと線分ＱＭを引きます。ここで、線分ＰＲと線分ＣＦの交点をＯ、線分ＰＲと線分ＱＭの交点をＮとしました。

▲図１．線分ＣＦと線分ＱＭを引きました

すると、△ＳＦＯは、△ＳＱＮを拡大したもの（相似形）になっていることが判ります。つまり、これらの２つの三角形の比を求めることができれば、点Ｓの位置を決めることができそうです。

そこで、△ＳＦＯと△ＳＱＮとの比を求めるために、線分ＦＯと線分ＱＮに注目します。

まず線分ＦＯですが、線分ＦＣの長さが線分ＡＢの長さの２倍で、点Ｏは線分ＦＣの中点ですから、線分ＦＯの長さは線分ＡＢの長さと等しくなります。

次に線分ＱＮですが、点Ｑと点Ｍは、それぞれ線分ＢＣと線分ＡＦの中点なので、線分ＱＭの長さは、線分ＡＢの長さと線分ＣＦの長さの和の１/２、つまり、線分ＡＢの長さ３/２です。そして、点Ｎは線分ＱＭの中点なので、線分ＱＮの長さは線分ＡＢの長さの３/４です。

これらから図２のように、△ＳＦＯと△ＳＱＮの比を求めることができました。ここで、線分ＡＢの長さをａ、線分ＰＲの長さをｂとしました。

▲図２．△ＳＦＯと△ＳＱＮの比を求めることができました

続いて、線分ＯＳの長さを求め、さらに線分ＳＲの長さを求めましょう。

線分ＯＮの長さはｂ/４で、点Ｓは線分ＯＮを　ａ：３ａ/４＝４：３　に内分する点なので、線分ＯＳの長さは、
ｂ/４×４/７＝ｂ/７
です。

また、線分ＯＲの長さはｂ/２なので、線分ＳＲの長さ（線分ＯＮの長さ＋線分ＯＲの長さ）は、
ｂ/７＋ｂ/２＝９ｂ/１４
です。

すると、図３のように△ＱＲＳは、底辺をＳＲ、高さをＮＱとする三角形なので、その面積Ｔは、
Ｔ＝９ｂ/１４×３ａ/４×１/２
　＝２７ａｂ/１１２
になります。

▲図３．△ＱＲＳの面積を求めることができました

一方、正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積Ｈは、図４にあるように、正三角形ＯＡＢの面積の６倍で、正三角形ＯＡＢの面積は、ａ×ｂ/２×１/２＝１/４×ａｂなので、
Ｈ＝１/４×ａｂ×６
　＝３ａｂ/２
です。

▲図４．正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積を求めます

最後に、三角形ＱＲＳの面積と正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の比をとると、
Ｔ/Ｈ＝２７ａｂ/１１２÷３ａｂ/２
　　 ＝２７/１１２×２/３
　　 ＝９/５６
で、答えは９/５６倍です。


昨日、灘中の合格発表がありました。合格された皆さんも、残念な結果に終わった皆さんも、このような難しい問題に挑戦したことは素晴らしいことだと思います。これからも頑張ってください。