こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
朝から箱根駅伝をラジオで聴いているのですが、青山学院が往路優勝しそうです。明日の復路が終わると大学センター試験も目前で受験シーズンの到来といった感じです。受験生の皆さん、頑張ってください。
さて、今回は中学受験まで１ヶ月をきったということで、算数の中学入試問題を取り上げます。
問題は、平成２７年度桜蔭中のもので、それは、
「下の図１のようなアからケの９個のマスがあります。
このアからケのマスの中に、約数が全部で９個ある整数の約数を小さい順に入れます。たとえば、３６の場合は図２のようになります。このとき、次の□にあてはまる数を答えなさい。
（１）アとケとオに書かれている数字の和が２４１となる整数は□です。
（２）ウとケとキに書かれている数字の積が３８４１６となる整数は□です。」
です。
▲図１．問題図（１）
▲図２．問題図（２）
早速（１）から始めましょう。
ここで、ある整数Ｎの約数の個数が奇数個ということは、Ｎは平方数になります。
そこで、ケをｎ^2とすると、オは約数を小さい順に並べたときの真ん中の数なのでｎです。（ピンとこないときは下の（２）の解答を参考にしてください）
また、アは１なので、これらから、
ア＋ケ＋オ＝１＋ｎ^2＋ｎ＝２４１
ｎ^2＋ｎ－２４０＝０
（ｎ－１５）（ｎ＋１６）＝０
から、
ｎ＝１５
です。
したがって、
Ｎ＝１５^2＝２２５
となり、これが答えです。
ここでは、２次方程式や因数分解を使っているので、それらを使わないで解きましょう。
まず、ケは２４１より小さい平方数なので、ケは２２５（１５×１５）、１９６（１４×１４）、１６９（１３×１３）、・・・、４（２×２）、１（１×１）のいずれかになります。
仮に、ケ＝２２５の場合、その約数は小さい順に、１、３、５、９、１５、２５、４５、７５、２２５で、ア＝１、オ＝１５なので、
ア＋ケ＋オ＝１＋２２５＋１５＝２４１
から、ケは２２５です。
続いて（２）に進みます。
Ｎ（＝ｎ^2）の９個の約数を小さい順に、１、ｐ、ｑ、ｒ、ｓ、ｔ、ｕ、ｖ、ｎ^2 とし、これらの９個の約数で、Ｎ（＝ｎ^2）を割ると、それらは順に、ｎ^2、ｖ、ｕ、ｔ、ｓ、ｒ、ｑ、ｐ、１ となります。
つまり、
ｎ^2＝ｐｖ＝ｑｕ＝ｒｔ＝ｓ^2
が成り立ちます。
すると、
ウ×ケ×キ＝ｑ・ｎ^2・ｕ
＝ｑ・ｎ^2・ｎ^2/ｑ
＝ｎ^2・ｎ^2
＝ｎ^4
＝３８４１６
です。
ここで、３８４１６＝（２×７）^4 なので、
ｎ＝１４
Ｎ＝１４^2＝１９６
で、これが答えになります。
別の方法として、ある整数Ｎを素因数分解してＮ＝ｐ^a・ｑ^b・ｒ^c・・・と表せるとき、Ｎの約数の個数が、（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）・・・となることを利用してもよいでしょう。
つまり、
（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）・・・＝９
となるので、ａ＝２、ｂ＝２、ｃ以下は０ または ａ＝８、ｂ以下は０ です。
・ａ＝２、ｂ＝２の場合、Ｎ＝ｐ^2・ｑ^2 （ｐ＜ｑ）で、Ｎの約数は小さい順に、
１、ｐ、ｑ、ｐ^2、ｐｑ、ｑ^2、ｐ^2ｑ、ｐｑ^2、（ｐｑ）^2
または、
１、ｐ、ｐ^2、ｑ、ｐｑ、ｐ^2ｑ、ｑ^2、ｐｑ^2、（ｐｑ）^2
です。
すると、ウ×ケ×キは、それぞれ
ｑ・（ｐｑ）^2・ｐ^2ｑ＝（ｐｑ）^4
ｐ^2・（ｐｑ）^2・ｑ^2＝（ｐｑ）^4
で、どちらも（ｐｑ）^4になります。
したがって、
（ｐｑ）^4＝３８４１６＝（２×７）^4
ｐｑ＝１４
から
Ｎ＝１９６
になります。
・ａ＝８の場合、Ｎ＝ｐ^8 で、Ｎの約数は小さい順に、
１、ｐ、ｐ^2、ｐ^3、ｐ^4、ｐ^5、ｐ^6、ｐ^7、ｐ^8
です。
すると、ウ×ケ×キは、
ｐ^2・ｐ^6・ｐ8＝ｐ^16
で、
ｐ^16＝３８４１６＝（２×７）^4
を満たす整数ｐはありません。
３８４１６の素因数分解に手間が掛かりそうですが、女子御三家の桜蔭中を受験する小６生には簡単なのでしょうね。流石です。
朝から箱根駅伝をラジオで聴いているのですが、青山学院が往路優勝しそうです。明日の復路が終わると大学センター試験も目前で受験シーズンの到来といった感じです。受験生の皆さん、頑張ってください。
さて、今回は中学受験まで１ヶ月をきったということで、算数の中学入試問題を取り上げます。
問題は、平成２７年度桜蔭中のもので、それは、
「下の図１のようなアからケの９個のマスがあります。
このアからケのマスの中に、約数が全部で９個ある整数の約数を小さい順に入れます。たとえば、３６の場合は図２のようになります。このとき、次の□にあてはまる数を答えなさい。
（１）アとケとオに書かれている数字の和が２４１となる整数は□です。
（２）ウとケとキに書かれている数字の積が３８４１６となる整数は□です。」
です。
▲図１．問題図（１）
▲図２．問題図（２）
早速（１）から始めましょう。
ここで、ある整数Ｎの約数の個数が奇数個ということは、Ｎは平方数になります。
そこで、ケをｎ^2とすると、オは約数を小さい順に並べたときの真ん中の数なのでｎです。（ピンとこないときは下の（２）の解答を参考にしてください）
また、アは１なので、これらから、
ア＋ケ＋オ＝１＋ｎ^2＋ｎ＝２４１
ｎ^2＋ｎ－２４０＝０
（ｎ－１５）（ｎ＋１６）＝０
から、
ｎ＝１５
です。
したがって、
Ｎ＝１５^2＝２２５
となり、これが答えです。
ここでは、２次方程式や因数分解を使っているので、それらを使わないで解きましょう。
まず、ケは２４１より小さい平方数なので、ケは２２５（１５×１５）、１９６（１４×１４）、１６９（１３×１３）、・・・、４（２×２）、１（１×１）のいずれかになります。
仮に、ケ＝２２５の場合、その約数は小さい順に、１、３、５、９、１５、２５、４５、７５、２２５で、ア＝１、オ＝１５なので、
ア＋ケ＋オ＝１＋２２５＋１５＝２４１
から、ケは２２５です。
続いて（２）に進みます。
Ｎ（＝ｎ^2）の９個の約数を小さい順に、１、ｐ、ｑ、ｒ、ｓ、ｔ、ｕ、ｖ、ｎ^2 とし、これらの９個の約数で、Ｎ（＝ｎ^2）を割ると、それらは順に、ｎ^2、ｖ、ｕ、ｔ、ｓ、ｒ、ｑ、ｐ、１ となります。
つまり、
ｎ^2＝ｐｖ＝ｑｕ＝ｒｔ＝ｓ^2
が成り立ちます。
すると、
ウ×ケ×キ＝ｑ・ｎ^2・ｕ
＝ｑ・ｎ^2・ｎ^2/ｑ
＝ｎ^2・ｎ^2
＝ｎ^4
＝３８４１６
です。
ここで、３８４１６＝（２×７）^4 なので、
ｎ＝１４
Ｎ＝１４^2＝１９６
で、これが答えになります。
別の方法として、ある整数Ｎを素因数分解してＮ＝ｐ^a・ｑ^b・ｒ^c・・・と表せるとき、Ｎの約数の個数が、（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）・・・となることを利用してもよいでしょう。
つまり、
（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）・・・＝９
となるので、ａ＝２、ｂ＝２、ｃ以下は０ または ａ＝８、ｂ以下は０ です。
・ａ＝２、ｂ＝２の場合、Ｎ＝ｐ^2・ｑ^2 （ｐ＜ｑ）で、Ｎの約数は小さい順に、
１、ｐ、ｑ、ｐ^2、ｐｑ、ｑ^2、ｐ^2ｑ、ｐｑ^2、（ｐｑ）^2
または、
１、ｐ、ｐ^2、ｑ、ｐｑ、ｐ^2ｑ、ｑ^2、ｐｑ^2、（ｐｑ）^2
です。
すると、ウ×ケ×キは、それぞれ
ｑ・（ｐｑ）^2・ｐ^2ｑ＝（ｐｑ）^4
ｐ^2・（ｐｑ）^2・ｑ^2＝（ｐｑ）^4
で、どちらも（ｐｑ）^4になります。
したがって、
（ｐｑ）^4＝３８４１６＝（２×７）^4
ｐｑ＝１４
から
Ｎ＝１９６
になります。
・ａ＝８の場合、Ｎ＝ｐ^8 で、Ｎの約数は小さい順に、
１、ｐ、ｐ^2、ｐ^3、ｐ^4、ｐ^5、ｐ^6、ｐ^7、ｐ^8
です。
すると、ウ×ケ×キは、
ｐ^2・ｐ^6・ｐ8＝ｐ^16
で、
ｐ^16＝３８４１６＝（２×７）^4
を満たす整数ｐはありません。
３８４１６の素因数分解に手間が掛かりそうですが、女子御三家の桜蔭中を受験する小６生には簡単なのでしょうね。流石です。