こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
毎日晴れの日が続いて空気が乾燥し、東久留米の湿度は４０％ちょっとと乾燥しています。特に受験生の皆さんは、手洗い・うがいなど風邪などの予防に心がけましょう。
さて、今回は平成２７年度筑波大付属駒場中の入試問題です。
問題は、
「分母と分子がともに整数である真分数（分子が分母より小さい分数）に対し、次のような操作を考えます。
その逆数が、
ア 帯分数で表せるとき、その帯分数の整数部分を消して、真分数にする。
イ 整数のとき、０にする。
上の操作を１回とかぞえ、操作の結果できた数に対して、この操作を０になるまでくり返し行います。
たとえば、最初の数が３/１０のときは、下のように、操作を２回行うと０になります。
最初の数 ３/１０
１回目の操作の結果 １/３
２回目の操作の結果 ０
次の問いに答えなさい。
（１）最初の数が７/２７のとき、操作を何回行うと０になりますか。
（２）７個の数 １/８、２/８、３/８、４/８、５/８、６/８、７/８のうち、０になるまでの操作の回数が最も多いものはどれですか。
（３）ある真分数に操作をくり返し行ったところ、０になるまでに６回かかりました。
最初の数として考えられるもののうち、分母が最も小さいものを答えなさい。 」
です。
（１）と（２）は、操作を間違えなければ簡単な問題です。
まず（１）ですが、 ［逆数にする→帯分数にする→帯分数の整数部を消す］と表すと、
最初の数 ７/２７
１回目の操作 ２７/７ → ３と６/７ → ６/７
２回目の操作 ７/６ → １と１/６ → １/６
３回目の操作 ６/１ → ６と０/１ → ０
なので、７/２７が０になるまでの操作回数は３回で、これが答えです。
続いて（２）です。
１/８、２/８、４/８ は逆数にすると整数になるので、０になるまでの操作回数は１回です。
残りの３/８、５/８、６/８、７/８について調べていきます。
最初の数 ３/８
１回目の操作 ８/３ → ２と２/３ → ２/３
２回目の操作 ３/２ → １と１/２ → １/２
３回目の操作 ２/１ → ２と０/１ → ０
最初の数 ５/８
１回目の操作 ８/５ → １と３/５ → ３/５
２回目の操作 ５/３ → １と２/３ → ２/３
３回目の操作 ３/２ → １と１/２ → １/２
４回目の操作 ２/１ → ２と０/１ → ０
最初の数 ６/８
１回目の操作 ８/６ → １と２/６ → ２/６
２回目の操作 ６/２ → ２と０/２ → ０
最初の数 ７/８
１回目の操作 ８/７ → １と１/７ → １/７
２回目の操作 ７/１ → ７と０/１ → ０
となり、操作回数が最も多いものは５/８で、これが答えです。
それでは（３）に進みましょう。
問題文のなかの「分母が最も小さいもの」というところから、５回目の操作の結果が１/２、かつ、すべての操作における帯分数の整数部分を１と予想して逆の順に操作を６回くり返してみると、
６回目の操作 ２/１ → ２と０/１ → ０
５回目の操作 ３/２ → １と１/２ → １/２
４回目の操作 ５/３ → １と２/３ → ２/３
３回目の操作 ８/５ → １と３/５ → ３/５
２回目の操作 １３/８ → １と５/８ → ５/８
１回目の操作 ２１/１３ → １と８/１３ → ８/１３
最初の数 １３/２１
で、最初の数は１３/２１になりそうです。そして、これは正解なので答えだけ書くならばこれでもよいのですが、ここではもう少し詳しく調べてみましょう。
まず、最初の数をＢ/Ａとして６回操作をくり返すと、
最初の数 Ｂ/Ａ Ｂ＜Ａ
１回目の操作 Ａ/Ｂ → ａとＣ/Ｂ → Ｃ/Ｂ Ａ＝ａＢ＋Ｃ，Ｃ＜Ｂ，ａ≧１ ａは整数
２回目の操作 Ｂ/Ｃ → ｂとＤ/Ｃ → Ｄ/Ｃ Ｂ＝ｂＣ＋Ｄ，Ｄ＜Ｃ，ｂ≧１ ｂは整数
３回目の操作 Ｃ/Ｄ → ｃとＥ/Ｄ → Ｅ/Ｄ Ｃ＝ｃＤ＋Ｅ，Ｅ＜Ｄ，ｃ≧１ ｃは整数
４回目の操作 Ｄ/Ｅ → ｄとＦ/Ｅ → Ｆ/Ｅ Ｄ＝ｄＥ＋Ｆ，Ｆ＜Ｅ，ｄ≧１ ｄは整数
５回目の操作 Ｅ/Ｆ → ｅとＧ/Ｆ → Ｇ/Ｆ Ｅ＝ｅＦ＋Ｇ，Ｇ＜Ｆ，ｅ≧１ ｅは整数
６回目の操作 Ｆ/Ｇ → ｆとＨ/Ｇ → Ｈ/Ｇ Ｆ＝ｆＧ＋Ｈ，Ｈ＜Ｇ，ｆ≧２ ｆは整数
となります。
この６回目の操作の結果０になるので、
Ｈ＝０
です。
そのとき注意しなければならないことは、６回目の操作に記した
Ｆ＝ｆＧ＋Ｈ
＝ｆＧ
と、５回目の操作に記した
Ｇ＜Ｆ
から、
ｆ≧２
となることです。
それでは、各操作に記した等式を下から順に上の式に代入していくと、
Ｅ＝ｅｆＧ＋Ｇ
＝（ｅｆ＋１）Ｇ
Ｄ＝ｄｅｆＧ＋ｄＧ＋ｆＧ
＝（ｄｅｆ＋ｄ＋ｆ）Ｇ
Ｃ＝ｃｄｅｆＧ＋ｃｄＧ＋ｃｆＧ＋ｅｆＧ＋Ｇ
＝（ｃｄｅｆ＋ｃｄ＋ｃｆ＋ｅｆ＋１）Ｇ
Ｂ＝ｂｃｄｅｆＧ＋ｂｃｄＧ＋ｂｃｆＧ＋ｂｅｆＧ＋ｂＧ＋ｄｅｆＧ＋ｄＧ＋ｆＧ
＝（ｂｃｄｅｆ＋ｂｃｄ＋ｂｃｆ＋ｂｅｆ＋ｂ＋ｄｅｆ＋ｄ＋ｆ）Ｇ
Ａ＝ａｂｃｄｅｆＧ＋ａｂｃｄＧ＋ａｂｃｆＧ＋ａｂｅｆＧ＋ａｂＧ＋ａｄｅｆＧ＋ａｄＧ＋ａｆＧ
＋ｃｄｅｆＧ＋ｃｄＧ＋ｃｆＧ＋ｅｆＧ＋Ｇ
＝（ａｂｃｄｅｆ＋ａｂｃｄ＋ａｂｃｆ＋ａｂｅｆ＋ａｂ＋ａｄｅｆ＋ａｄ＋ａｆ＋ｃｄｅｆ＋ｃｄ＋ｃｆ＋ｅｆ＋１）Ｇ
となります。
ここで、Ａが最も小さい数になるのは、
ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝Ｇ＝１
ｆ＝２
のときで、
Ａ＝２＋１＋２＋２＋１＋２＋１＋２＋２＋１＋２＋２＋１＝２１
です。
そのとき
Ｂ＝２＋１＋２＋２＋１＋２＋１＋２＝１３
となり、最初の数で分母が最も小さいものは、１３/２１になります。
折角、ＡとＢを求めたので、これを利用して分母が２番目に小さい数を求めてみましょう。
先ほど求めたＡとＢのＧの係数を、それぞれＡ’、Ｂ’とすると、
Ａ’＝ａｂｃｄｅｆ＋ａｂｃｄ＋ａｂｃｆ＋ａｂｅｆ＋ａｂ＋ａｄｅｆ＋ａｄ＋ａｆ＋ｃｄｅｆ＋ｃｄ＋ｃｆ＋ｅｆ＋１
Ｂ’＝ｂｃｄｅｆ＋ｂｃｄ＋ｂｃｆ＋ｂｅｆ＋ｂ＋ｄｅｆ＋ｄ＋ｆ
です。
そこで、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆが、それぞれ１増加したとき、Ａ’がいくつ増加するかを調べます。
まず、ａは、Ａ’の１３項のうち８項に含まれ、かつ、ｆと積になっているものは５項なので、ａが１増加すると、Ａ’は１３増加することになります。
同じように、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆも計算して、まとめると、
ａが１増加→Ａ’は１３増加
ｂが１増加→Ａ’は ８増加
ｃが１増加→Ａ’は１０増加
ｄが１増加→Ａ’は ９増加
ｅが１増加→Ａ’は１０増加
ｆが１増加→Ａ’は ８増加
となります。
これから、２番目に分母が小さい数は、
・ａ＝１、ｂ＝２、ｃ＝１、ｄ＝１、ｅ＝１、ｆ＝２
と
・ａ＝１、ｂ＝１、ｃ＝１、ｄ＝１、ｅ＝１、ｆ＝３
の場合で、それぞれの場合の最初の数は、２１/２９および１８/２９になります。（実際に操作したら０になるのに６回かかりました）
結構おもしろい問題でした。興味がある人は実際に操作をして調べてみてください。
毎日晴れの日が続いて空気が乾燥し、東久留米の湿度は４０％ちょっとと乾燥しています。特に受験生の皆さんは、手洗い・うがいなど風邪などの予防に心がけましょう。
さて、今回は平成２７年度筑波大付属駒場中の入試問題です。
問題は、
「分母と分子がともに整数である真分数（分子が分母より小さい分数）に対し、次のような操作を考えます。
その逆数が、
ア 帯分数で表せるとき、その帯分数の整数部分を消して、真分数にする。
イ 整数のとき、０にする。
上の操作を１回とかぞえ、操作の結果できた数に対して、この操作を０になるまでくり返し行います。
たとえば、最初の数が３/１０のときは、下のように、操作を２回行うと０になります。
最初の数 ３/１０
１回目の操作の結果 １/３
２回目の操作の結果 ０
次の問いに答えなさい。
（１）最初の数が７/２７のとき、操作を何回行うと０になりますか。
（２）７個の数 １/８、２/８、３/８、４/８、５/８、６/８、７/８のうち、０になるまでの操作の回数が最も多いものはどれですか。
（３）ある真分数に操作をくり返し行ったところ、０になるまでに６回かかりました。
最初の数として考えられるもののうち、分母が最も小さいものを答えなさい。 」
です。
（１）と（２）は、操作を間違えなければ簡単な問題です。
まず（１）ですが、 ［逆数にする→帯分数にする→帯分数の整数部を消す］と表すと、
最初の数 ７/２７
１回目の操作 ２７/７ → ３と６/７ → ６/７
２回目の操作 ７/６ → １と１/６ → １/６
３回目の操作 ６/１ → ６と０/１ → ０
なので、７/２７が０になるまでの操作回数は３回で、これが答えです。
続いて（２）です。
１/８、２/８、４/８ は逆数にすると整数になるので、０になるまでの操作回数は１回です。
残りの３/８、５/８、６/８、７/８について調べていきます。
最初の数 ３/８
１回目の操作 ８/３ → ２と２/３ → ２/３
２回目の操作 ３/２ → １と１/２ → １/２
３回目の操作 ２/１ → ２と０/１ → ０
最初の数 ５/８
１回目の操作 ８/５ → １と３/５ → ３/５
２回目の操作 ５/３ → １と２/３ → ２/３
３回目の操作 ３/２ → １と１/２ → １/２
４回目の操作 ２/１ → ２と０/１ → ０
最初の数 ６/８
１回目の操作 ８/６ → １と２/６ → ２/６
２回目の操作 ６/２ → ２と０/２ → ０
最初の数 ７/８
１回目の操作 ８/７ → １と１/７ → １/７
２回目の操作 ７/１ → ７と０/１ → ０
となり、操作回数が最も多いものは５/８で、これが答えです。
それでは（３）に進みましょう。
問題文のなかの「分母が最も小さいもの」というところから、５回目の操作の結果が１/２、かつ、すべての操作における帯分数の整数部分を１と予想して逆の順に操作を６回くり返してみると、
６回目の操作 ２/１ → ２と０/１ → ０
５回目の操作 ３/２ → １と１/２ → １/２
４回目の操作 ５/３ → １と２/３ → ２/３
３回目の操作 ８/５ → １と３/５ → ３/５
２回目の操作 １３/８ → １と５/８ → ５/８
１回目の操作 ２１/１３ → １と８/１３ → ８/１３
最初の数 １３/２１
で、最初の数は１３/２１になりそうです。そして、これは正解なので答えだけ書くならばこれでもよいのですが、ここではもう少し詳しく調べてみましょう。
まず、最初の数をＢ/Ａとして６回操作をくり返すと、
最初の数 Ｂ/Ａ Ｂ＜Ａ
１回目の操作 Ａ/Ｂ → ａとＣ/Ｂ → Ｃ/Ｂ Ａ＝ａＢ＋Ｃ，Ｃ＜Ｂ，ａ≧１ ａは整数
２回目の操作 Ｂ/Ｃ → ｂとＤ/Ｃ → Ｄ/Ｃ Ｂ＝ｂＣ＋Ｄ，Ｄ＜Ｃ，ｂ≧１ ｂは整数
３回目の操作 Ｃ/Ｄ → ｃとＥ/Ｄ → Ｅ/Ｄ Ｃ＝ｃＤ＋Ｅ，Ｅ＜Ｄ，ｃ≧１ ｃは整数
４回目の操作 Ｄ/Ｅ → ｄとＦ/Ｅ → Ｆ/Ｅ Ｄ＝ｄＥ＋Ｆ，Ｆ＜Ｅ，ｄ≧１ ｄは整数
５回目の操作 Ｅ/Ｆ → ｅとＧ/Ｆ → Ｇ/Ｆ Ｅ＝ｅＦ＋Ｇ，Ｇ＜Ｆ，ｅ≧１ ｅは整数
６回目の操作 Ｆ/Ｇ → ｆとＨ/Ｇ → Ｈ/Ｇ Ｆ＝ｆＧ＋Ｈ，Ｈ＜Ｇ，ｆ≧２ ｆは整数
となります。
この６回目の操作の結果０になるので、
Ｈ＝０
です。
そのとき注意しなければならないことは、６回目の操作に記した
Ｆ＝ｆＧ＋Ｈ
＝ｆＧ
と、５回目の操作に記した
Ｇ＜Ｆ
から、
ｆ≧２
となることです。
それでは、各操作に記した等式を下から順に上の式に代入していくと、
Ｅ＝ｅｆＧ＋Ｇ
＝（ｅｆ＋１）Ｇ
Ｄ＝ｄｅｆＧ＋ｄＧ＋ｆＧ
＝（ｄｅｆ＋ｄ＋ｆ）Ｇ
Ｃ＝ｃｄｅｆＧ＋ｃｄＧ＋ｃｆＧ＋ｅｆＧ＋Ｇ
＝（ｃｄｅｆ＋ｃｄ＋ｃｆ＋ｅｆ＋１）Ｇ
Ｂ＝ｂｃｄｅｆＧ＋ｂｃｄＧ＋ｂｃｆＧ＋ｂｅｆＧ＋ｂＧ＋ｄｅｆＧ＋ｄＧ＋ｆＧ
＝（ｂｃｄｅｆ＋ｂｃｄ＋ｂｃｆ＋ｂｅｆ＋ｂ＋ｄｅｆ＋ｄ＋ｆ）Ｇ
Ａ＝ａｂｃｄｅｆＧ＋ａｂｃｄＧ＋ａｂｃｆＧ＋ａｂｅｆＧ＋ａｂＧ＋ａｄｅｆＧ＋ａｄＧ＋ａｆＧ
＋ｃｄｅｆＧ＋ｃｄＧ＋ｃｆＧ＋ｅｆＧ＋Ｇ
＝（ａｂｃｄｅｆ＋ａｂｃｄ＋ａｂｃｆ＋ａｂｅｆ＋ａｂ＋ａｄｅｆ＋ａｄ＋ａｆ＋ｃｄｅｆ＋ｃｄ＋ｃｆ＋ｅｆ＋１）Ｇ
となります。
ここで、Ａが最も小さい数になるのは、
ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝Ｇ＝１
ｆ＝２
のときで、
Ａ＝２＋１＋２＋２＋１＋２＋１＋２＋２＋１＋２＋２＋１＝２１
です。
そのとき
Ｂ＝２＋１＋２＋２＋１＋２＋１＋２＝１３
となり、最初の数で分母が最も小さいものは、１３/２１になります。
折角、ＡとＢを求めたので、これを利用して分母が２番目に小さい数を求めてみましょう。
先ほど求めたＡとＢのＧの係数を、それぞれＡ’、Ｂ’とすると、
Ａ’＝ａｂｃｄｅｆ＋ａｂｃｄ＋ａｂｃｆ＋ａｂｅｆ＋ａｂ＋ａｄｅｆ＋ａｄ＋ａｆ＋ｃｄｅｆ＋ｃｄ＋ｃｆ＋ｅｆ＋１
Ｂ’＝ｂｃｄｅｆ＋ｂｃｄ＋ｂｃｆ＋ｂｅｆ＋ｂ＋ｄｅｆ＋ｄ＋ｆ
です。
そこで、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆが、それぞれ１増加したとき、Ａ’がいくつ増加するかを調べます。
まず、ａは、Ａ’の１３項のうち８項に含まれ、かつ、ｆと積になっているものは５項なので、ａが１増加すると、Ａ’は１３増加することになります。
同じように、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆも計算して、まとめると、
ａが１増加→Ａ’は１３増加
ｂが１増加→Ａ’は ８増加
ｃが１増加→Ａ’は１０増加
ｄが１増加→Ａ’は ９増加
ｅが１増加→Ａ’は１０増加
ｆが１増加→Ａ’は ８増加
となります。
これから、２番目に分母が小さい数は、
・ａ＝１、ｂ＝２、ｃ＝１、ｄ＝１、ｅ＝１、ｆ＝２
と
・ａ＝１、ｂ＝１、ｃ＝１、ｄ＝１、ｅ＝１、ｆ＝３
の場合で、それぞれの場合の最初の数は、２１/２９および１８/２９になります。（実際に操作したら０になるのに６回かかりました）
結構おもしろい問題でした。興味がある人は実際に操作をして調べてみてください。