時の前置詞、 “ａｔ”、 “ｏｎ”、 “ｉｎ”

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

寒い日になりました。明日から雪になるようで、今週末も雪かきかも知れません。

中１生はこの一年間英語を勉強してきて、いろいろなことを英語で表現できるようになりました。少し前の和文英訳では、主語＋動詞＋目的語という基本骨格だけの文だったのが、今は副詞など使ってより豊かな表現になってきています。

今回は、時を表現するときに使う前置詞、“ａｔ”、“ｏｎ”、“ｉｎ”　の使い分けを説明します。

これらの前置詞の使い分けは、時の幅が短い順に、“ａｔ”、“ｏｎ”、“ｉｎ”　となります。

まず、時刻や時節のときは、“ａｔ”　を使います。
“Ｉ　ｕｓｕａｌｌｙ　ｇｅｔ　ｕｐ　ａｔ　ｓｅｖｅｎ．”　として「７時に」を表します。時節としては、“ａｔ　Ｓｔ．Ｖａｌｅｎｔｉｎｅ’ｓ　ｄａｙ”　など、他に　　“ａｔ　ｎｏｏｎ”、“ａｔ　ｎｉｇｈｔ”　などがあります。

次に、日付や曜日のときは、“ｏｎ”　を使います。
“Ｉ　ｗａｓ　ｂｏｒｎ　ｏｎ　Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ　１０ｔｈ，１９５８．”　として、「１９５８年９月１０日に」を表します。他に、“ｏｎ　Ｔｈｕｒｓｄａｙ”　などです。

最後に、週以上の長い期間のときは、“ｉｎ”　を使います。　“ｉｎ　ｔｈｅ　ｔｈｉｒｄ　ｗｅｅｋ　ｏｆ　Ｆｅｂｒｕａｒｙ”、“ｉｎ　Ｆｅｂｒｕａｒｙ”、“ｉｎ　ｗｉｎｔｅｒ”、“ｉｎ　２０１４”　などです。

以上が基本原則なのですが、言葉というのは例外があるもので・・・。

例えば、「朝に（は）」は、“ｉｎ　ｔｈｅ　ｍｏｒｎｉｎｇ”　と　“ｉｎ”　を使います。さらに、「木曜日の朝」は、“ｏｎ　Ｔｈｕｒｓｄａｙ　ｍｏｒｎｉｎｇ”　と　　“ｏｎ”　が使われます。

また、時を表す名詞の前に、“ｌａｓｔ”、“ｎｅｘｔ”、“ｔｈｉｓ”、“ｔｈａｔ”がくる場合は、“ａｔ”、“ｏｎ”、“ｉｎ”　は省略します。

例外を含めて、それほどゴチャゴチャしているものではないので。しっかり覚えておきましょう。

麻布中の算数入試問題（大問６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

道端には雪が積み上げられていますが、道に雪はなく歩きやすくなりました。しかし、また週末に降雪かもしれないと言っていました。

さて、麻布中の算数入試問題ですが、今日は大問６の図形問題です。４つの小問からなり、前半の（１）、（２）は後半のヒントになっています。

問題は、「正三角形を敷き詰めた平面上で、（１）図１の線分ＸＹを点Ｙを中心にして反時計回りに６０°回転させたときの点Ｚを図に書き入れなさい。（２）角ＸＯＺの大きさは何度でしょう」というものです。

▲図1.麻布中算数入試問題大問６（１）（２）

これは簡単で、平面上に敷き詰めた正三角形の頂点を格子点としてみなして、点Ｘと点Ｙまでの長さが線分ＸＹの長さと同じになる点を見つければＯＫです。すると、△ＸＹＺは正三角形になるので、∠ＸＹＺ＝６０°となり、線分ＸＹを点Ｙを中心に６０°回転させたことになります。（２）は、二等辺三角形の頂点と底辺の中点とを結んだ直線は、底辺と直交するので、９０°になります。

次に、小問（３）です。問題は、「図２にある正六角形ＡＢＣＤＥＦのＢＤとＣＦとの交点をＩとし、点Ａと点Ｉとを重ねて折り目をつけます。そのとき、折り目が辺ＥＦと辺ＡＢと交わった点をそれぞれ点Ｐと点Ｑとした場合、ＥＰ：ＰＦ、ＡＢ：ＱＢの比を求めよ」というものです。

▲図２．麻布中算数入試問題大問６（３）

これは、前半のヒントがないと難しいです。そこで、正六角形ＡＢＣＤＥＦ内に、それらの頂点と格子点が一致するように、正三角形を敷き詰めてみると図３のようになります。これは小問（１）と同じになり、簡単になりました。ポイントは、点Ｉも敷き詰めた正三角形の格子点になるということです。

▲図３.麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（１）

そこで、平面を隙間なく敷き詰めることができる正多角形として、正三角形以外に正方形と正六角形があるので、正方形で敷き詰めてみます。

▲図４．麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（２）

図４で判るように正方形で敷き詰め場合も、点Ｉは格子点に一致しました。つまり、正方形を敷き詰めても解けるということです。さらに、敷き詰める図形は正多角形でなくても良く、長方形、菱型、平行四辺形でもＯＫです。繰り返しますが、ポイントは、各頂点が格子点となるように図形を敷き詰めたとき、点Ｉが格子点と一致することです。

このように小問（１）、（２）をヒントにすると易しく解けるのですが、ヒントを使わずに挑戦してみます。

当然、解析的幾何を使えば簡単ですが、これは、図４のように正方形を敷き詰めた座標系を利用することと同じです。そこで一般的な解き方（？）を示します。

方針は、ＥＦの中点をＰ’として、これがＰと一致することを示します。

▲図５．麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（３）

ＣＤの中点をＲとすると、ＢＤ⊥Ｐ’Ｒ、ＤＳ＝ＩＳなのでＰ’Ｄ＝Ｐ’Ｉ。
また、Ｐ’Ｄ＝Ｐ’Ａなので、Ｐ’Ｉ＝Ｐ’Ａ。つまり、△Ｐ’ＡＩは二等辺三角形で、ＡＩの中点ＳとＰ’を結んだＰ’ＳはＡＩと直交する。つまり、Ｐ’Ｓは点Ａを折り返して点Ｉに重ねてできる折り目となる。従って、Ｐ’とＰは一致する。
つまり、ＰはＥＦの中点である。Ｑ．Ｅ．Ｄ.

３回に渡り麻布中の問題を見てきましたが、中学高校数学に繋がる正統派の問題が多いという感じです。御三家と言われるだけのことはありますね。

麻布中の算数入試問題（大問５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

弱い北風が吹いていて寒い日になりました。今日は建国記念の日で通常授業はお休みです。とは言え、中３の受験生は来るはずなのですが、昨日私立高校の受験で疲れたのか、お休みのようです。

昨日に続いて麻布中の算数入試問題大問５を紹介します。

問題は、剰余に関するもので、「１番から９９９９番のカードに９９で割ったときの余りと１０１で割ったときの余りが書いてあって、それぞれ５１と４１と書いてあるカードは何枚目のカードか」というものです。

初めに力ずくで解いてみます。

このカードがＮ枚目（Ｎ≦９９９９）とすると、
Ｎ＝９９ｐ＋５１＝１０１ｑ＋４１　式（１）
が成り立ちます。
ここでｐとｑを０から１ずつ増やして計算すると、ｐ＝ｑ＝５のとにＮ＝５４６になり正解に辿り着きます。（０≦Ｎ≦９９９９の範囲に５４６以外で式（１）を満たすＮの有無を調べていないので不完全ですが）

そこで、少し工夫します。
式（１）を変形して、
１０１ｑ－９９ｐ＝１０　式（２）
とします。

ｐとｑとの大小関係で場合分けすると、
（１）ｐ＝ｑのとき、
１０１ｐ－９９ｐ＝２ｐ＝１０から、ｐ＝５、ｑ＝５
式（１）にｐ＝５を代入して、Ｎ＝５４６

（２）ｐ＞ｑ（ｐ＝ｑ＋ｒ、ｒ≧１を満たす整数）のとき、
式（２）は、１０１ｑ－９９（ｑ＋ｒ）＝２ｑ－９９ｒ＝１０
２ｑ＝９９ｒ＋１０
２ｑ、１０が偶数なのでｒは偶数となり、ｒ＝２とすると、
２ｑ＝２０８より、ｑ＝１０４
ｑ＝１０４を式（１）に代入して、Ｎ＝１０５４５となり、Ｎ≦９９９９に反する。
ｒ≧４の場合も同じ。

（３）ｐ＜ｑ（ｐ＝ｑ－ｒ、ｒ≧１を満たす整数）のとき、
式（２）は、１０１ｑ－９９（ｑ－ｒ）＝２ｑ＋９９ｒ＝１０
２ｑ＝１０－９９ｒ＜０より、ｑの解はなし。

以上より、Ｎ＝５４６となります。


他にも連立合同式を使う解法があります。

Ｎ≡５１（ｍｏｄ９９）　　式（３）
Ｎ≡４１（ｍｏｄ１０１）　式（４）

式（３）、（４）を満たすＮは、

Ｎ≡５１×１０１×Ａ＋４１×９９×Ｂ
〔但し、１０１Ａ≡１（ｍｏｄ９９）、９９Ｂ≡１（ｍｏｄ１０１）〕

そこで、Ａ、Ｂを求めると、
１＝９９×５０＋１０１×（－９９）より、Ａ＝５０
１＝９９×（－５１）＋１０１×５０より、Ｂ＝５０

従って、
Ｎ≡５１×１０１×５０＋４１×９９×５０≡４６０５００
　≡５４６（ｍｏｄ９９９９）

０≦Ｎ≦９９９９より、Ｎ＝５４６となります。



次の小問（３）は、小問（２）より複雑になります。

問題は、「９９９９００枚のカードで、９９、１００および１０１で割ったときの余りが、それぞれ３７、１５、１となるカードを求めよ」というものです。

まず、合同式を使って解いてみます。

Ｍ≡３７（ｍｏｄ９９）　　式（５）
Ｍ≡１５（ｍｏｄ１００）　式（６）
Ｍ≡１　（ｍｏｄ１０１）　式（７）

式（５）、（６）、（７）を満たすＭは、

Ｍ≡３７×１０１００×Ｄ＋１５×９９９９×Ｅ＋１×９９００×Ｆ
〔但し、１０１００Ｄ≡１（ｍｏｄ９９）、９９９９Ｅ≡１（ｍｏｄ１００）、９９００Ｆ≡１（ｍｏｄ１０１）〕

そこで、Ｄ、Ｅ、Ｆを求めると、
１＝１０１００×５０＋９９×（－５１０１）より、Ａ＝５０
１＝９９９９×９９＋１００×（－９８９９）より、Ｂ＝９９
１＝９９００×５１＋１０１×（－４９９９）より、Ｃ＝５１

従って、
Ｍ≡１８６８５０００＋１４８４８５１５＋５０４９００≡３４０３８４１５
　≡４１８１５（ｍｏｄ９９９９００）

０≦Ｍ≦９９９９００より、Ｍ＝４１８１５となります。

合同式を使うとシステマティックに解けるのですが、この問題のように法が大きい数の場合、電卓が欲しいところです。

そこで、合同式を使わないで解いてみましょう。

Ｍ＝９９Ｑ＋３７　　　式（８）
Ｍ＝１００Ｒ＋１５　　式（９）
Ｍ＝１０１Ｓ＋１　　　式（１０）

Ｑ＝Ｒ＋ｎ、Ｒ＝Ｓ＋ｍとすると、
式（８）、（９）から、
９９Ｑ＋３７＝１００（Ｑ－ｎ）＋１５
Ｑ＝１００ｎ＋２２

また、式（９）、（１０）から、
１００Ｒ＋１５＝１０１（Ｒ－ｍ）＋１
Ｒ＝１０１ｍ＋１４

そこで、
Ｑ＝Ｒ＋ｎより、
１００ｎ＋２２＝１０１ｍ＋１４＋ｎ
１０１ｍ－９９ｎ＝８　　式（１１）

つまり、式（１１）を満たす整数ｍ、ｎを求めればよい。
（ここで、場合分けは省略して）
ｍ＝ｎ＝４
従って、Ｑ＝４２２、Ｒ＝４１８、Ｓ＝４１４

以上より、Ｍ＝９９×４２２＋３７＝４１８１５
（実は、面倒な場合分けを省略しているので不完全なのですが・・・）

合同式は高校でも詳しく勉強しませんが、整数問題などに威力を発揮するツールです。興味があれば、勉強してみて下さい。

それにしても麻布中の問題は楽しいですね。明日は、大問６を紹介します。

麻布中の算数入試問題（大問１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

まだ雪が残っている所も多いですが、地域住民の皆さんの雪かきのおかげで歩行通路は確保できています。少し暖かいので雪もじきに融けるでしょう。

麻布中の算数入試問題は興味深い問題が多いです。試験問題は、６つの大問からなっていますが、特に、大問１、５と６が面白そうです。今日は、大問１を紹介します。

問題は、「２、３、５を用いて３０を作る方法は何通りあるか。但し、足す順序が異なるだけのものは同じ方法とする」というものです。

まず、この問題を言い換えると、「２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｎ＝３０　を満たす正の整数Ｌ、ＭおよびＮの組み合わせは何通りか」となります。

次に、Ｌ、ＭおよびＮの取り得る範囲を求めます。Ｌ、ＭおよびＮは正の整数ですから、左辺の２Ｌ、３Ｍおよび５Ｎの項も正の整数になります。つまり、０≦Ｌ≦１５、０≦Ｍ≦１０、０≦Ｎ≦６　とそれぞれの範囲が決まりました。

最後に、これらの範囲にある整数の組み合わせが等式を満たすか虱潰しに調べれば正解できます。ポイントは、効率的で系統的な調べ方ということになるのですが、Ｎについて場合分けしていけばＯＫでしょう。５＝２＋３なので、２（Ｌ＋Ｎ）＋３（Ｍ＋Ｎ）＝３０と変形したくなりますが、手間は変わらないようです。いずれにしても簡単に解けるので、合格者は全員正解でしょう。

そこで、この問題を違った視点から眺めて見ます。高校で勉強するのですが、２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｎ＝３０は、Ｌ、ＭおよびＮを軸とする空間での平面を表します。（図１の三角形ＡＢＣ）　つまり、問題は、「三角形ＡＢＣの中にある格子点の数はいくつあるか」と言い換えることができます。

▲図1.“２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｌ＝３０”の表す平面

しかし、三角形ＡＢＣは、Ｌ、ＭおよびＮの軸に対して傾いているので、三角形ＡＢＣ上の格子点を数えるのは面倒です。そこで、Ｎ＝０、１、２、・・・、に対するＬＭ平面に平行な三角形を作り、それらの斜辺（Ｌ軸上の点とＭ軸上の点を結んだ線分）の上の格子点を数えます。

Ｎ軸上から見て、Ｎ＝０～６における格子点（●）を重ね合わせたものを図２に示します。

▲図２．三角形ＡＢＣ上の格子点

ここで、Ｎ＝０、１、２、・・・、に対するＬＭ平面に平行な三角形を作ることは、２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｎ＝３０でＮ＝０、１、２・・・、と場合分けするのと同じことです。しかし、図２のグラフは、Ｎ＝０、１、２、・・・のとき、それぞれ、２Ｌ＋３Ｍ＝３０、２Ｌ＋３Ｍ＝２５、・・・、２Ｌ＋３Ｍ＝０となる７本の直線をＬＭ平面に描いたもので、これらの７本の直線と格子点とが交わる点（つまり、２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｎ＝３０の解）には規則性があることが判ります。

例えば、Ｍを一定のときのＬの間隔は５で、Ｌ一定のときのＭの間隔も５になります。また、右下に並ぶ点の列にも規則性があります。この特徴は、２Ｌ＋３Ｍ＋５Ｌ＝３００など右辺が大きな数になったとき強力な武器になります。

以上のように、数と図形との関係を勉強すると算数・数学が判り易くなり、そして楽しくなるかも知れません。

筑波大附属駒場中の算数入試問題（大問２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

大変な雪でした。朝、家と教室の雪かきをしたので汗だくです。

さて、筑波大附属駒場中の算数入試問題ですが、昨日の大問１に続いて、今日は大問２に取り掛かります。

大問２は３つの小問からなり、それらのはどれも同じような問題です。それは、隙間なく並べてある正六角形のなかに点Ａ、点Ｂ、点Ｐおよび点Ｑが与えられていて、ＡＢの長さが３０ｃｍのとき、ＡＰとＰＱの長さを求めるというものです。小問（１）から（３）の問題図をそれぞれ図１から３に示します。

▲図１．筑波大附属駒場中　算数入試問題　大問２（１）

▲図２.筑波大附属駒場中　算数入試問題　大問２（２）

▲図３．筑波大附属駒場中　算数入試問題　大問２（３）

一つのセルが正六角形なので、辺や中心（長い方の対角線の交点）から頂点までの長さが等しいことなど使いたくなったり、解析的に解きたくなったりするかもしれませんが、ここは適当な目盛を持つ軸に対して平行射影して比を求めるのが簡単です。

正六角形の２つの頂点を通る直線を引いてそれを軸とした場合、すべての軸は周期性を持ちます。しかし、選んだ頂点同士が離れていては長さの基準（目盛）が大きくなりすぎて、各点を平行射影したときの点の位置が測れません。つまり、それなりの周期性をもつ直線を軸に選ぶことが肝要です。

▲図４．筑波大附属駒場中　算数入試問題　大問２説明図

ごちゃごちゃと書きましたが、実は簡単で、図４のＬ１、Ｌ２およびＬ３、ならびにＭ１、Ｍ２およびＭ３はそれを満たしています。（他にも軸として使えるものがたくさんあります）Ｌ１、Ｌ３、Ｍ１、およびＭ３は、正六角形の長い方の対角線の半分（六角形の辺の長さ）を目盛とした軸で、Ｌ２とＭ２は、正六角形の短い方の対角線の半分を目盛とした軸になっています。

これらの軸に点Ａ、点Ｐおよび点Ｑを平行射影します。その際、平行射影の方向はを正六角形の辺の方向に合わせるのがポイントです。例えば、点Ａは正六角形の頂点なので辺の方向は３つありますが、点Ｐや点Ｑは正六角形の辺上にあるので方向は１つです。そこで、辺上の点Ｐまたは点Ｑを辺の方向に射影し、その方向に合わせて点Ａを平行射影します。

このようにして軸に点Ａ、ＰおよびＱを平行射影させて、軸の目盛から各点間の長さの比を求めます。そして、ＡＢの長さからＡＰとＡＱの長さとＰＱ＝ＡＱ－ＡＰを計算して終わりです。

具体的に、軸としてＬ１とＭ１を使う場合を示します。点Ｐを正六角形の辺の方向に（上下方向）にＬ１上に射影し、その点を点Ｐ１とします。次に点Ａを同じ方向に平行射影し、点Ａ１とします。するとＡ１Ｂの長さは、正六角形の長い方の対角線の半分の長さの３倍で、Ａ１Ｐ１の長さは２倍であることが判ります。したがって、ＡＢ：ＡＰ＝Ａ１Ｂ：Ａ１Ｐ１＝３：１となり、ＡＢは３０ｃｍなのでＡＰ＝１０ｃｍとなります。

点Ｑについても同じ操作をして、ＡＢ：ＡＱ＝Ａ６Ｂ：Ａ６Ｑ６＝２：１、ＡＱ＝１５ｃｍとなり、ＰＱ＝ＡＱ－ＡＰ＝１５－１０＝５ｃｍと正解できます。

さらに、点Ｐと点Ｑとが存在する正六角形の辺の方向が異なっているので、２つの方向に平行射影しなければなりませんが、必ずしも２つの軸を必要としません。例えば、図４のＬ１とＭ１は同じ軸で、２つの辺と平行でなければ１つの軸で充分です。

小問（２）も（３）も同様に正解できます。大問１もそうでしたが、筑波大附属駒場中の問題は、同じような小問が多く、少し冗長な感じがします。小問（１）を正三角形をセルとした２次元の問題にして、小問（２）を正四面体をセルにした３次元の問題にすると面白かったかも知れません。

今まで、開成中、灘中、そして筑波大附属駒場中の面白そうな問題を見てきましたが、すべて男子中なので、女子中も調べたくなりました。そこで、女子中の筆頭格である桜陰中の問題を見たのですが、残念ながら面白そうな問題はありませんでした。何気なく麻布中を調べると、今回の問題に似た感じのものなど結構面白そうな問題が多かったので、次回は麻布中の入試問題を取り上げたいと思います。

筑波大附属駒場中の算数入試問題（大問１）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

大雪になりました。教室の前を雪かきしたのですが、あっと言う間に白くなりました。

今まで開成中、灘中の算数入試問題を見てきましたが、やはり外せないのは筑波大附属駒場中学校です。昔は、東京教育大附属駒場中学校で「キョーコマ」と言っていました。

その「旧キョーコマ」の問題を一瞥すると、面白そうなのは大問１と２です。

大問１は、４桁整数　１１１１　および６桁の整数　１１１１１１　について、一の位は１から１ずつ、十の位は１から２ずつ、百の位は１から３ずつ、千の位は１から４ずつ、万の位は１から５ずつ、十万の位は１から６ずつ増やし、それぞれ一の位の数を各桁に持つ数についての問題です。

例えば、４桁の　１１１１　の場合は、順に、５４３２、９７５３、３０７４、７３９４、１６１５、・・・　となります。

そのようにして作った数について、（問１－ア）１００番目の数はいくつになるか、（問２－イ）１番目から１００番目までの数のうち、６の倍数は何個あるか、というものです。

（問１－ア）は、等差数列の知識があればあっと言う間に正解ですが、後の問題を考慮すると、各桁の数がどのように巡回するかを調べて解くのが良いようです。

（問１－イ）の６の倍数の個数については、２の倍数（偶数）でかつ３の倍数であるものを数えればＯＫです。そのとき、３の倍数は、各桁の数の和が３の倍数になるということを利用しましょう。

６桁の問題では、（問２－ア）１番目から２０１４番目までの各桁に数字　「１」　は全部で何個あるか、（問２－イ）１番目から２０１４番目までの数のうち、８の倍数は何個あるか、というものです。

（問２－ア）で等差数列を使うと、２０１４×６＝１２０８４回計算しなければならないので、ここは各桁の数の巡回を調べましょう。

（問２－イ）の８の倍数の個数については、１０００＝８×１２５なので下３桁が８の倍数かを調べればＯＫです。とは言っても、２０１４個の３桁の数を８で割ってみるというのも骨が折れそうですが、実際は１０個の数が巡回するだけで簡単です。

具体的には、下３桁の数が、１１１、４３２、７５３、０７４、３９５、６１６、９３７、２５８、５７９、８９０、１１１、・・・、と巡回します。これらから２の倍数でないものを除くと、４３２、０７４、６１６、２５８、８９０が残り、次に４の倍数でないもの、つまり、下２桁の数が４の倍数でないものを除くと、４３２、６１６になります。この２つの数を８で割ってみれば両者とも８の倍数であることが判ります。

問１、２とも倍数の判定が必要です。２の倍数は一の位の数が偶数、３の倍数は各位の数の和が３の倍数、等々などよく知られていますが、ここでは一般化された倍数の判定法を紹介します。

ある数ＡがＮの倍数か調べたいとき、１０進数の基数（１、１０、１００、・・・）をＮで割った余りとＡのその基数に対応する桁の数との積和がＮの倍数であるかどうかを調べる方法です。

例えば、４３２が８の倍数かどうかを調べます。１００、１０および１を８で除した余りは、それぞれ、４、２および１になります。そこで、４×４＋３×２＋２×１＝２４となり、２４は８の倍数ですから４３２は８の倍数になります。さらに２４について同様な」操作をすると、２×２＋４×１＝８となり、これは８の倍数です。簡単で覚えやすいので便利です。

大問１は一見取っ付き難いように見えますが、巡回に着目すれば簡単です。まあ、２０１４個の数を扱うとなれば、何か規則性を見つけて簡単にしなければ時間内に解けない訳ですから、巡回に着目するのは当然でしょう。今日は大問１が長くなってしまったので、大問２は明日にします。

灘中の算数試験問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

毎日寒い日が続きますが、ついに明日はしっかりした雪が降るようです。この週末は、受験生の皆さんは暖かくして家で勉強しましょう。

開成中入学試験の算数問題に続いて、西の雄・灘中の問題をチェックしました。方程式などの知識があれば難しくはないですが、それを使わないと時間内に正解するのは大変そうです。そのなかで面白そうな問題が大問４のパズルでした。

▲灘中算数試験問題 大問４

１から１９までの数を図のように配置して、直線上に並んだ数の合計を３８にするという問題です。

一見したところ、空欄の○が１１個で、直線上に並んだ数の和が３８になるという条件で１３式作れるので、１１元１次連立方程式を解けば終わりです。しかし、変数が１１というのも骨が折れるので手間をかけずに正解したいところです。

図をよく見ると、ア列、ク列、サ列の交点が９になることが判るので、１から１９までの１９個の数のうち既に使っている（配置されている）数は１０個で、残り９個になります。つまり、残りの９個を配置すればよい訳です。

次に、どこの空欄に着目すれば良いかを考えると、空欄が２つある列と３つある列がありますが、ここは当然空欄が２つの列です。例えば、ウ列、カ列、ソ列の交点にある１０に着目すると、カ列とソ列のそれぞれ２つの空欄には、和が２８となる数が配置されなければなりません。残りの９個の数から２つの数の和が２８となる組み合わせは、（１２，１６）、（１３，１５）の２通りですから、カ列とソ列の合わせて４つの空欄には、１２、１３、１５および１６のどれかが配置されるということです。同じ作業をア列、オ列、コ列にも施してお仕舞いです。

ところで、ア列、ク列、サ列の交点はどうして空欄にしてあったのですかね。灘中受験生に失礼じゃないかなぁ。

開成中算数試験問題大問１の（１）と「ユークリッドの互除法」

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜は身を切る寒さでした。それに比べると、今日はましですが、それでも充分に寒いです。

中１の塾生が空間図形の勉強のあと、開成中の算数入試問題に挑戦しました。好きな問題を選ばせたところ、大問１の（１）の、「３つの整数ア、イ、ウがあります。アとイの最大公約数は２１、イとウの最大公約数は３５、アとウの最大公約数は９８です。また、アとイとウの合計は１０００以下です。ア、イ、ウに当てはまる数を答えなさい」という問題を選びました。

大問１の（１）と（２）は易しいのでＧｏｏｄ Ｃｈｏｉｃｅです。数分間の格闘後、見事に正解に辿り着きました。

塾生の解法は、アは２１と９８との最小公倍数、イは２１と３５との最小公倍数、ウは３５と９８との最小公倍数を求めるというものです。ちょっと不完全ではあるものの合格です。（別解としては、ア＝２１×ｐ＝９８×ｑ、イ＝２１×ｒ＝３５×ｓ、ウ＝３５×ｔ＝９８×ｕ、などと置いて解くのも判り易い方法です。私の好みはこちらです。）

ところで、塾生が解答に時間が掛かったのは、最小公倍数を求めるのに苦労していたためでした。小５で（最大）公約数、（最小）公倍数を勉強するのですが、最小公倍数の求め方は、各々の数の倍数を書き出して同じ数になるものを見つけるというものです。上の問題の３５と９８との最小公倍数は４９０なので、３５、７０、１０５、・・・と１４の数字を書き出さなければならないということです。

この苦労を解決してくれるのが「ユークリッドの互除法」です。図に、今回の問題の２１と９８、２１と３５、３５と９８の最小公倍数の求め方を例に挙げました。

▲ユークリッドの互除法

２つの数字を横に並べて書き、割り算の筆算に出てくる形を上下逆さまにした線を引きます。次に２つの数字の公約数を左に書いて、元の数の下に元の数を公約数で除した数を書きます。左側の例では、２１と９８の公約数は７なので、横に７と書いて、２１の下に３（２１÷７＝３）、９８の下に１４（９８÷７＝１４）を書きます。この場合、最下にある３と１４には公約数がないのでここで終わりです。（違う数の組み合わせで公約数がある場合は、この操作を公約数がなくなるまで繰り返します）

この計算式から最小公倍数を求めるには、左側の数と最下の数の積を作ります。例では、左側の数が７、最下の数が３と１４なので、７×３×１４＝２９４で、最小公倍数は２９４になります。

この「ユークリッド互除法」を中学校の頃、勉強したような気がするのですが、小中学校では扱わないようです。但し、中学入試では最小公倍数や最大公約数が出題されるので、覚えておくと良いでしょう。

開成中の算数試験問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日午後の早い時間から本格的な雪が降り始めたので積雪を心配したのですが、夕方には止んで良かったです。

そんな雪のせいか小学生の塾生の休みが多かったので、空いた時間に今年の開成中の算数試験問題を見てました。

問題は４つで、どれも攻略方針を決めるのは難しくないのですが、いざ実行するとなかなか大変です。それらのなかで興味深いものが問題３の時計問題です。

▲図１．2014年開成中学校 算数試験問題３

１日が１０時間（午前５時間、午後５時間）、１時間が２５分、１分が２５秒という架空の時計を扱った問題で、３つの小問からなっています。（１）は、現在時刻（図１）午後２時５分０秒から始めて、短針と長針とが重なる時刻を求めて短針、長針および秒針を時計に書き込むという問題で、これは力ずくで簡単に片付けられそうですが、（３）は、３針が１００回目に重なるのは何日後の何時何分かというもので、なかなか骨が折れそうです。

結局、各針が０時となす角を時間と回転回数で表して解いたのですが、力ずくでねじ伏せるにしても立式して計算するにしても手間の掛かる問題です。ほとんどの小６生（おそらく中高校生も）には歯が立たないでしょう。合否にかかわらず、これらの難問に挑戦した１，１３０人の受験生には感心する次第です。

「習慣」を表す 『現在形』 と 『進行形』

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝から霧雨が降っています。午後からは寒くなって雪になるようです。今日、明日は寒いので、特に受験生の皆さんは風邪など引かぬよう気をつけてください。

都立高校入試の英語では、３文英作文が出題されます。例えば、「学校から帰って自宅ですることの中で一番楽しいことを一つ取り上げ、そのことについて三つの英語の文で書き表しなさい」　といった問題です。

先日、この問題に対して、塾生が、「私は家でＴＶを見ている。（第２文以降省略）」　と言いたかったようで、　“Ｉ　ａｍ　ｗａｔｃｈｉｎｇ　ＴＶ　ａｔ　ｈｏｍｅ．・・・”　としました。　「見ている」→「～している」→『進行形』　と考えたようです。ここは、「習慣」　を表したいので　『現在形』　を使って、“Ｉ　ｗａｔｃｈ　ＴＶ　ａｔ　ｈｏｍｅ．”　とするのが良いでしょう。

しかし、それほど長期に渡って継続しない　「習慣」　の場合には、『進行形』　を使うこともあります。例えば、“Ｉ’ｍ　ｓｅｅｉｎｇ　ａ　ｌｏｔ　ｏｆ　Ｊｏａｎ　ｔｈｅｓｅ　ｄａｙｓ．”　は、「近頃はジョーンによく会っている」　という意味になります。

さらに、『進行形』　を　“ａｌｗａｙｓ”　や　“ｃｏｎｓｔａｎｔｌｙ”　などの副詞と一緒に用いた場合も　「習慣」　を表します。つまり、　“Ｉ　ａｍ　ａｌｗａｙｓ　ｗａｔｃｈｉｎｇ　ＴＶ　ａｔ　ｈｏｍｅ　ａｆｔｅｒ　ｓｃｈｏｏｌ．”　は、「私は放課後、家でテレビばかり見ているよ」　と　「習慣」　を表すことになります。但し、『進行形』　と　“ａｌｗａｙｓ”　などとの組み合わせは、「（いつも～してばかりしていて）うんざり」　という感じなので、上の文では、テレビを見てばかりいる私に自分自身が呆れているといった感じでしょうか。その点で問題の　「一番楽しいこと」　に反するかも知れません。

いずれにしても　「習慣　」を表現するときには、『現在形』　を使うのが無難でしょう。

恵方巻きとｓｕｓｈｉ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

風もなく暖かい日になりましたが、明日から寒波が押し寄せるようで、寒い日が続くようです。

今日は節分です。豆まきが恒例行事でしたが、近頃は、「恵方巻き」を食べる人のほうが豆まきする人より多くなったとか。

ご存知のように、寿司は世界中で人気のある食べ物で、中学校の英語の教科書にも取り上げられていて、飾り巻き寿司、柿の葉寿司など紹介されています。将来、外国人と寿司の話題になったとき、困らないようにとの心遣いかも知れません。

そこで　“ｓｕｓｈｉ”　を　“Ｏｘｆｏｒｄ　Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｌｅａｎｅｒ’ｓ　Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ”　で引いてみると、挿絵付きで、　“ａ　Ｊａｐａｎｅｓｅ　ｄｉｓｈ　ｏｆ　ｓｍａｌｌ　ｃａｋｅｓ　ｏｆ　ｃｏｌｄ　ｃｏｏｋｅｄ　ｒｉｃｅ，　ｆｌａｖｏｕｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｖｉｎｅｇａｒ　ａｎｄ　ｓｅｒｖｅｄ　ｗｉｔｈ　ｒｏｗ　ｆｉｓｈ，ｅｔｃ　ｏｎ　ｔｏｐ”　とありました。

▲　“ｓｕｓｈｉ”　の挿絵　【Ｏｘｆｏｒｄ　Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｌｅａｒｎｅｒ’ｓ　Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ】

ここで　“ｃａｋｅ”　とあるのは、「塊」という意味で、「冷えた酢飯の小さな塊の上に刺身などがトッピングされている日本料理」　ということです。つまり、この辞書の説明は、寿司のなかでも握り寿司を指しているようです。

寿司には、握り寿司、巻き寿司、散らし寿司の３種類がありますが、英語では、それぞれ　“ｈａｎｄ　ｓｈａｐｅｄ　ｓｕｓｈｉ”、　“ｒｏｌｌｅｄ　ｓｕｓｈｉ”、　“ｕｎｃａｋｅｄ　ｓｕｓｈｉ”　と言います。

海外での寿司を扱ったＴＶ番組を観ると、海外では握り寿司より巻き寿司のほうがメジャーのようです。それに対して、散らし寿司は見たことがないので、その知名度は低いようです。

相似問題の解き方

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

ときどき晴れたり雨が降ったりと変わりやすい天気です。明日は暖かくなるようです。

都立高校の数学入試問題には相似三角形が関係するものが出題されます。相似三角形を見つけ、辺の長さの比例式を作り、それを計算すれば正解となるのですが、たまに２つの相似三角形の位置関係が紛らわしいものもあるので要注意です。そこで、紛らわしい相似三角形の位置関係の求め方を紹介します。

初めに、紛らわしくない相似三角形の例を図１に示します。

▲図１.　紛らわしくない２つの相似三角形

図１の例は、∠Ａは共通、ＢＣ//ＤＣなので∠Ｂ＝∠ＡＤＥ（平行線に対する同位角は等しい）ので、△ＡＢＣ∽△ＡＤＥとなります。これは一見して判る位置関係です。つまり、点Ａを支点として辺ＤＥを下に移動させれば辺ＢＣに重なりそうだと納得できる訳です。言い方をかえると、平面上を複雑に平行移動させたり回転移動させることなく、相似関係を認識できるということです。

上で平面上の平行移動、回転移動を挙げましたが、これらの移動よりややこしいのが対称移動で、図形の表裏がひっくり返ります。この対称移動と他の移動が組み合わさると、頭がゴチャゴチャしてきて、２つの相似三角形の位置関係を間違えてしまいます。

図形をひっくり返す対称移動が現れる代表的な問題の一つは円と関連した場合で、その例として、２４年度の都立高校数学入試問題大問４を図２に示します。

▲図２．紛らわしい２つの相似三角形（２４年度都立数学）

弧ＣＢに対する円周角は等しいので∠Ａ＝∠Ｑで、対頂角は等しいので∠ＡＰＣ＝∠ＱＰＢとなり、△ＡＣＰ∽△ＱＢＰとなります。そこまでは良いのですが、実際に辺の長さの比例式をつくるとき間違いが起きやすいのです。

正解は、ＡＰ：ＱＰ＝ＡＣ：ＱＢ＝ＣＰ：ＢＰなのですが、ＡＰ：ＢＰ＝ＣＰ：ＱＰなどと間違える人が見受けられます。これは、△ＡＣＰ（△ＱＢＰ）が二等辺三角形に近い形で対応する頂点の位置関係が判り難いことと、図形をひっくり返す操作と平行および回転移動の操作とを同時にしなければならないため脳への負担が大きいことの二つが原因です。そこで、これを避けるために、相似三角形を問題の余白に描き出すことが有効です。

▲図３．相似三角形の描き出し

図３に２つの相似三角形を示します。△ＡＣＰを図２の向きに揃えて描きました。（実際に問題を解くときには、必ずしも描き出す必要はありません）　その△ＡＣＰの向きに揃えて（対応する点や角の位置を同じにして）△ＱＢＰを描き出してください。具体的には、まず△ＡＣＰと相似の三角形を描いて、その後、各頂点に文字記号を振り分けていきます。その際、対応する角ごとに進めていきましょう。例えば、∠Ａ＝∠Ｑだから、頂点ＡにＱが対応することを確かめながら図に書き入れます。そして、各頂点に文字記号を書き入れ終わったら、辺の長さの比例式を作りましょう。この手順を踏めば、間違えることはありません。

相似図形問題が苦手な人は試してみてください。都立入試まで少しです。頑張ってください。

原稿用紙

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

冷たい北風が吹いていて寒い日になりました。昨日は都立高校の推薦入試合格発表があり、受験した３名のうち１名が合格しました。おめでとうございます。そして、残念な結果だった塾生とは一般入試に向け頑張ります。皆さんも最後まで諦めず頑張ってください。

昨日の夕刊に「文豪が愛した原稿用紙」という記事がありました。神楽坂にある「相馬屋源四郎商店」が製造している原稿用紙です。「金色夜叉」の尾崎紅葉や「坊ちゃん」の夏目漱石が愛用されたようです。

ほかの原稿用紙では、浅草・満寿屋のものが有名で、川端康成、三島由紀夫、司馬遼太郎など錚々たる大作家が愛用しました。

しかし、今はパソコンで原稿を書く作家も多いようで、原稿用紙の需要が少なくなっているのではないでしょうか。作家の方々と並べて書くのはおこがましいのですが、私は伊東屋の原稿用紙を使っていましたが、最近はパソコンの原稿用紙ばかり使います。修正、保存、持ち運びが楽なので重宝しています。

▲伊東屋の原稿用紙

とは言っても、入学試験の小論文や作文は手書きですから、文豪御用達の原稿用紙を使って文豪気分で作文の練習をすると効果があるかもしれません。