開成中算数試験問題大問１の（１）と「ユークリッドの互除法」

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜は身を切る寒さでした。それに比べると、今日はましですが、それでも充分に寒いです。

中１の塾生が空間図形の勉強のあと、開成中の算数入試問題に挑戦しました。好きな問題を選ばせたところ、大問１の（１）の、「３つの整数ア、イ、ウがあります。アとイの最大公約数は２１、イとウの最大公約数は３５、アとウの最大公約数は９８です。また、アとイとウの合計は１０００以下です。ア、イ、ウに当てはまる数を答えなさい」という問題を選びました。

大問１の（１）と（２）は易しいのでＧｏｏｄ Ｃｈｏｉｃｅです。数分間の格闘後、見事に正解に辿り着きました。

塾生の解法は、アは２１と９８との最小公倍数、イは２１と３５との最小公倍数、ウは３５と９８との最小公倍数を求めるというものです。ちょっと不完全ではあるものの合格です。（別解としては、ア＝２１×ｐ＝９８×ｑ、イ＝２１×ｒ＝３５×ｓ、ウ＝３５×ｔ＝９８×ｕ、などと置いて解くのも判り易い方法です。私の好みはこちらです。）

ところで、塾生が解答に時間が掛かったのは、最小公倍数を求めるのに苦労していたためでした。小５で（最大）公約数、（最小）公倍数を勉強するのですが、最小公倍数の求め方は、各々の数の倍数を書き出して同じ数になるものを見つけるというものです。上の問題の３５と９８との最小公倍数は４９０なので、３５、７０、１０５、・・・と１４の数字を書き出さなければならないということです。

この苦労を解決してくれるのが「ユークリッドの互除法」です。図に、今回の問題の２１と９８、２１と３５、３５と９８の最小公倍数の求め方を例に挙げました。

▲ユークリッドの互除法

２つの数字を横に並べて書き、割り算の筆算に出てくる形を上下逆さまにした線を引きます。次に２つの数字の公約数を左に書いて、元の数の下に元の数を公約数で除した数を書きます。左側の例では、２１と９８の公約数は７なので、横に７と書いて、２１の下に３（２１÷７＝３）、９８の下に１４（９８÷７＝１４）を書きます。この場合、最下にある３と１４には公約数がないのでここで終わりです。（違う数の組み合わせで公約数がある場合は、この操作を公約数がなくなるまで繰り返します）

この計算式から最小公倍数を求めるには、左側の数と最下の数の積を作ります。例では、左側の数が７、最下の数が３と１４なので、７×３×１４＝２９４で、最小公倍数は２９４になります。

この「ユークリッド互除法」を中学校の頃、勉強したような気がするのですが、小中学校では扱わないようです。但し、中学入試では最小公倍数や最大公約数が出題されるので、覚えておくと良いでしょう。