こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
大雪になりました。教室の前を雪かきしたのですが、あっと言う間に白くなりました。
今まで開成中、灘中の算数入試問題を見てきましたが、やはり外せないのは筑波大附属駒場中学校です。昔は、東京教育大附属駒場中学校で「キョーコマ」と言っていました。
その「旧キョーコマ」の問題を一瞥すると、面白そうなのは大問１と２です。
大問１は、４桁整数 １１１１ および６桁の整数 １１１１１１ について、一の位は１から１ずつ、十の位は１から２ずつ、百の位は１から３ずつ、千の位は１から４ずつ、万の位は１から５ずつ、十万の位は１から６ずつ増やし、それぞれ一の位の数を各桁に持つ数についての問題です。
例えば、４桁の １１１１ の場合は、順に、５４３２、９７５３、３０７４、７３９４、１６１５、・・・ となります。
そのようにして作った数について、（問１－ア）１００番目の数はいくつになるか、（問２－イ）１番目から１００番目までの数のうち、６の倍数は何個あるか、というものです。
（問１－ア）は、等差数列の知識があればあっと言う間に正解ですが、後の問題を考慮すると、各桁の数がどのように巡回するかを調べて解くのが良いようです。
（問１－イ）の６の倍数の個数については、２の倍数（偶数）でかつ３の倍数であるものを数えればＯＫです。そのとき、３の倍数は、各桁の数の和が３の倍数になるということを利用しましょう。
６桁の問題では、（問２－ア）１番目から２０１４番目までの各桁に数字 「１」 は全部で何個あるか、（問２－イ）１番目から２０１４番目までの数のうち、８の倍数は何個あるか、というものです。
（問２－ア）で等差数列を使うと、２０１４×６＝１２０８４回計算しなければならないので、ここは各桁の数の巡回を調べましょう。
（問２－イ）の８の倍数の個数については、１０００＝８×１２５なので下３桁が８の倍数かを調べればＯＫです。とは言っても、２０１４個の３桁の数を８で割ってみるというのも骨が折れそうですが、実際は１０個の数が巡回するだけで簡単です。
具体的には、下３桁の数が、１１１、４３２、７５３、０７４、３９５、６１６、９３７、２５８、５７９、８９０、１１１、・・・、と巡回します。これらから２の倍数でないものを除くと、４３２、０７４、６１６、２５８、８９０が残り、次に４の倍数でないもの、つまり、下２桁の数が４の倍数でないものを除くと、４３２、６１６になります。この２つの数を８で割ってみれば両者とも８の倍数であることが判ります。
問１、２とも倍数の判定が必要です。２の倍数は一の位の数が偶数、３の倍数は各位の数の和が３の倍数、等々などよく知られていますが、ここでは一般化された倍数の判定法を紹介します。
ある数ＡがＮの倍数か調べたいとき、１０進数の基数（１、１０、１００、・・・）をＮで割った余りとＡのその基数に対応する桁の数との積和がＮの倍数であるかどうかを調べる方法です。
例えば、４３２が８の倍数かどうかを調べます。１００、１０および１を８で除した余りは、それぞれ、４、２および１になります。そこで、４×４＋３×２＋２×１＝２４となり、２４は８の倍数ですから４３２は８の倍数になります。さらに２４について同様な」操作をすると、２×２＋４×１＝８となり、これは８の倍数です。簡単で覚えやすいので便利です。
大問１は一見取っ付き難いように見えますが、巡回に着目すれば簡単です。まあ、２０１４個の数を扱うとなれば、何か規則性を見つけて簡単にしなければ時間内に解けない訳ですから、巡回に着目するのは当然でしょう。今日は大問１が長くなってしまったので、大問２は明日にします。
大雪になりました。教室の前を雪かきしたのですが、あっと言う間に白くなりました。
今まで開成中、灘中の算数入試問題を見てきましたが、やはり外せないのは筑波大附属駒場中学校です。昔は、東京教育大附属駒場中学校で「キョーコマ」と言っていました。
その「旧キョーコマ」の問題を一瞥すると、面白そうなのは大問１と２です。
大問１は、４桁整数 １１１１ および６桁の整数 １１１１１１ について、一の位は１から１ずつ、十の位は１から２ずつ、百の位は１から３ずつ、千の位は１から４ずつ、万の位は１から５ずつ、十万の位は１から６ずつ増やし、それぞれ一の位の数を各桁に持つ数についての問題です。
例えば、４桁の １１１１ の場合は、順に、５４３２、９７５３、３０７４、７３９４、１６１５、・・・ となります。
そのようにして作った数について、（問１－ア）１００番目の数はいくつになるか、（問２－イ）１番目から１００番目までの数のうち、６の倍数は何個あるか、というものです。
（問１－ア）は、等差数列の知識があればあっと言う間に正解ですが、後の問題を考慮すると、各桁の数がどのように巡回するかを調べて解くのが良いようです。
（問１－イ）の６の倍数の個数については、２の倍数（偶数）でかつ３の倍数であるものを数えればＯＫです。そのとき、３の倍数は、各桁の数の和が３の倍数になるということを利用しましょう。
６桁の問題では、（問２－ア）１番目から２０１４番目までの各桁に数字 「１」 は全部で何個あるか、（問２－イ）１番目から２０１４番目までの数のうち、８の倍数は何個あるか、というものです。
（問２－ア）で等差数列を使うと、２０１４×６＝１２０８４回計算しなければならないので、ここは各桁の数の巡回を調べましょう。
（問２－イ）の８の倍数の個数については、１０００＝８×１２５なので下３桁が８の倍数かを調べればＯＫです。とは言っても、２０１４個の３桁の数を８で割ってみるというのも骨が折れそうですが、実際は１０個の数が巡回するだけで簡単です。
具体的には、下３桁の数が、１１１、４３２、７５３、０７４、３９５、６１６、９３７、２５８、５７９、８９０、１１１、・・・、と巡回します。これらから２の倍数でないものを除くと、４３２、０７４、６１６、２５８、８９０が残り、次に４の倍数でないもの、つまり、下２桁の数が４の倍数でないものを除くと、４３２、６１６になります。この２つの数を８で割ってみれば両者とも８の倍数であることが判ります。
問１、２とも倍数の判定が必要です。２の倍数は一の位の数が偶数、３の倍数は各位の数の和が３の倍数、等々などよく知られていますが、ここでは一般化された倍数の判定法を紹介します。
ある数ＡがＮの倍数か調べたいとき、１０進数の基数（１、１０、１００、・・・）をＮで割った余りとＡのその基数に対応する桁の数との積和がＮの倍数であるかどうかを調べる方法です。
例えば、４３２が８の倍数かどうかを調べます。１００、１０および１を８で除した余りは、それぞれ、４、２および１になります。そこで、４×４＋３×２＋２×１＝２４となり、２４は８の倍数ですから４３２は８の倍数になります。さらに２４について同様な」操作をすると、２×２＋４×１＝８となり、これは８の倍数です。簡単で覚えやすいので便利です。
大問１は一見取っ付き難いように見えますが、巡回に着目すれば簡単です。まあ、２０１４個の数を扱うとなれば、何か規則性を見つけて簡単にしなければ時間内に解けない訳ですから、巡回に着目するのは当然でしょう。今日は大問１が長くなってしまったので、大問２は明日にします。