こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
道端には雪が積み上げられていますが、道に雪はなく歩きやすくなりました。しかし、また週末に降雪かもしれないと言っていました。
さて、麻布中の算数入試問題ですが、今日は大問６の図形問題です。４つの小問からなり、前半の（１）、（２）は後半のヒントになっています。
問題は、「正三角形を敷き詰めた平面上で、（１）図１の線分ＸＹを点Ｙを中心にして反時計回りに６０°回転させたときの点Ｚを図に書き入れなさい。（２）角ＸＯＺの大きさは何度でしょう」というものです。
▲図1.麻布中算数入試問題大問６（１）（２）
これは簡単で、平面上に敷き詰めた正三角形の頂点を格子点としてみなして、点Ｘと点Ｙまでの長さが線分ＸＹの長さと同じになる点を見つければＯＫです。すると、△ＸＹＺは正三角形になるので、∠ＸＹＺ＝６０°となり、線分ＸＹを点Ｙを中心に６０°回転させたことになります。（２）は、二等辺三角形の頂点と底辺の中点とを結んだ直線は、底辺と直交するので、９０°になります。
次に、小問（３）です。問題は、「図２にある正六角形ＡＢＣＤＥＦのＢＤとＣＦとの交点をＩとし、点Ａと点Ｉとを重ねて折り目をつけます。そのとき、折り目が辺ＥＦと辺ＡＢと交わった点をそれぞれ点Ｐと点Ｑとした場合、ＥＰ：ＰＦ、ＡＢ：ＱＢの比を求めよ」というものです。
▲図２．麻布中算数入試問題大問６（３）
これは、前半のヒントがないと難しいです。そこで、正六角形ＡＢＣＤＥＦ内に、それらの頂点と格子点が一致するように、正三角形を敷き詰めてみると図３のようになります。これは小問（１）と同じになり、簡単になりました。ポイントは、点Ｉも敷き詰めた正三角形の格子点になるということです。
▲図３.麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（１）
そこで、平面を隙間なく敷き詰めることができる正多角形として、正三角形以外に正方形と正六角形があるので、正方形で敷き詰めてみます。
▲図４．麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（２）
図４で判るように正方形で敷き詰め場合も、点Ｉは格子点に一致しました。つまり、正方形を敷き詰めても解けるということです。さらに、敷き詰める図形は正多角形でなくても良く、長方形、菱型、平行四辺形でもＯＫです。繰り返しますが、ポイントは、各頂点が格子点となるように図形を敷き詰めたとき、点Ｉが格子点と一致することです。
このように小問（１）、（２）をヒントにすると易しく解けるのですが、ヒントを使わずに挑戦してみます。
当然、解析的幾何を使えば簡単ですが、これは、図４のように正方形を敷き詰めた座標系を利用することと同じです。そこで一般的な解き方（？）を示します。
方針は、ＥＦの中点をＰ’として、これがＰと一致することを示します。
▲図５．麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（３）
ＣＤの中点をＲとすると、ＢＤ⊥Ｐ’Ｒ、ＤＳ＝ＩＳなのでＰ’Ｄ＝Ｐ’Ｉ。
また、Ｐ’Ｄ＝Ｐ’Ａなので、Ｐ’Ｉ＝Ｐ’Ａ。つまり、△Ｐ’ＡＩは二等辺三角形で、ＡＩの中点ＳとＰ’を結んだＰ’ＳはＡＩと直交する。つまり、Ｐ’Ｓは点Ａを折り返して点Ｉに重ねてできる折り目となる。従って、Ｐ’とＰは一致する。
つまり、ＰはＥＦの中点である。Ｑ．Ｅ．Ｄ.
３回に渡り麻布中の問題を見てきましたが、中学高校数学に繋がる正統派の問題が多いという感じです。御三家と言われるだけのことはありますね。
道端には雪が積み上げられていますが、道に雪はなく歩きやすくなりました。しかし、また週末に降雪かもしれないと言っていました。
さて、麻布中の算数入試問題ですが、今日は大問６の図形問題です。４つの小問からなり、前半の（１）、（２）は後半のヒントになっています。
問題は、「正三角形を敷き詰めた平面上で、（１）図１の線分ＸＹを点Ｙを中心にして反時計回りに６０°回転させたときの点Ｚを図に書き入れなさい。（２）角ＸＯＺの大きさは何度でしょう」というものです。
▲図1.麻布中算数入試問題大問６（１）（２）
これは簡単で、平面上に敷き詰めた正三角形の頂点を格子点としてみなして、点Ｘと点Ｙまでの長さが線分ＸＹの長さと同じになる点を見つければＯＫです。すると、△ＸＹＺは正三角形になるので、∠ＸＹＺ＝６０°となり、線分ＸＹを点Ｙを中心に６０°回転させたことになります。（２）は、二等辺三角形の頂点と底辺の中点とを結んだ直線は、底辺と直交するので、９０°になります。
次に、小問（３）です。問題は、「図２にある正六角形ＡＢＣＤＥＦのＢＤとＣＦとの交点をＩとし、点Ａと点Ｉとを重ねて折り目をつけます。そのとき、折り目が辺ＥＦと辺ＡＢと交わった点をそれぞれ点Ｐと点Ｑとした場合、ＥＰ：ＰＦ、ＡＢ：ＱＢの比を求めよ」というものです。
▲図２．麻布中算数入試問題大問６（３）
これは、前半のヒントがないと難しいです。そこで、正六角形ＡＢＣＤＥＦ内に、それらの頂点と格子点が一致するように、正三角形を敷き詰めてみると図３のようになります。これは小問（１）と同じになり、簡単になりました。ポイントは、点Ｉも敷き詰めた正三角形の格子点になるということです。
▲図３.麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（１）
そこで、平面を隙間なく敷き詰めることができる正多角形として、正三角形以外に正方形と正六角形があるので、正方形で敷き詰めてみます。
▲図４．麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（２）
図４で判るように正方形で敷き詰め場合も、点Ｉは格子点に一致しました。つまり、正方形を敷き詰めても解けるということです。さらに、敷き詰める図形は正多角形でなくても良く、長方形、菱型、平行四辺形でもＯＫです。繰り返しますが、ポイントは、各頂点が格子点となるように図形を敷き詰めたとき、点Ｉが格子点と一致することです。
このように小問（１）、（２）をヒントにすると易しく解けるのですが、ヒントを使わずに挑戦してみます。
当然、解析的幾何を使えば簡単ですが、これは、図４のように正方形を敷き詰めた座標系を利用することと同じです。そこで一般的な解き方（？）を示します。
方針は、ＥＦの中点をＰ’として、これがＰと一致することを示します。
▲図５．麻布中算数入試問題大問６（３）説明図（３）
ＣＤの中点をＲとすると、ＢＤ⊥Ｐ’Ｒ、ＤＳ＝ＩＳなのでＰ’Ｄ＝Ｐ’Ｉ。
また、Ｐ’Ｄ＝Ｐ’Ａなので、Ｐ’Ｉ＝Ｐ’Ａ。つまり、△Ｐ’ＡＩは二等辺三角形で、ＡＩの中点ＳとＰ’を結んだＰ’ＳはＡＩと直交する。つまり、Ｐ’Ｓは点Ａを折り返して点Ｉに重ねてできる折り目となる。従って、Ｐ’とＰは一致する。
つまり、ＰはＥＦの中点である。Ｑ．Ｅ．Ｄ.
３回に渡り麻布中の問題を見てきましたが、中学高校数学に繋がる正統派の問題が多いという感じです。御三家と言われるだけのことはありますね。