円周角の問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

曇りで少し蒸し暑かったのですが、先ほどから激しい雨が降り始めました。これで少し涼しくなってくれるとありがたいのですが。

今、多くの中学校で期末試験が行われていて、塾生もその準備で一生懸命勉強しています。そのなかで、中３の数学では円周角が試験範囲になっていることが多くあるので、今回は円周角の問題を取り上げます。

円周角の問題を探したのですが、あまり難しそうなものがなく、今回は２０１３年の日本ジュニア数学オリンピック予選問題からです。

問題は、
「円に内接する七角形ＰＡＢＣＤＥＦがあり、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＦが成り立っている。∠ＰＡＢ＝１００°、∠ＰＦＥ＝１２０°のとき、∠ＦＰＡを求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」

▲問題図

円周角の定理から、等しい長さの弧に対する円周角は等しいので、求める∠ＦＰＡは、弧ＡＢ（弧ＢＣ、弧ＣＤ、弧ＤＥ、弧ＥＦ）の５倍になります。

つまり、これらの弧の一つに対する円周角を求めることができればＯＫです。

ところが、１つの弧に対する円周角は見つかりそうもないので、これらの弧をいくつか合わせた弧に対する円周角がないかを探すことにしましょう。

▲図１．内接四角形の性質（対角の和が１８０°）を使います

そこで、図１のようにＢＦに補助線を引いて、円に内接する四角形ＰＡＢＦを作ると、内接四角形の性質（対角の和が１８０°）から、
∠ＰＦＢ＝１８０°－∠ＰＡＢ
　　　　＝１８０°－１００°
　　　　＝８０°
となります。

すると、
∠ＢＦＥ＝∠ＰＦＥ－∠ＰＦＢ
　　　　＝１２０°－８０°
　　　　＝４０°
となり、一方、∠ＢＦＥは、弧ＢＥ、つまり、弧ＢＣ＋弧ＣＤ＋弧ＤＥに対する円周角なので、３つの弧に対する円周角になります。

したがって、１つの弧に対する円周角は、４０°/３で、
∠ＦＰＡ＝４０°/３×５
　　　　＝２００°/３
となり、これが答えです。


別解として、図２のようにＡＦに補助線を引いて、△ＰＡＦの内角の和（１８０°）から計算する方法もあります。

▲図２．△ＰＡＦの内角の和を使います

１つの弧に対する円周角をθとすると、
∠ＢＡＦ＝４θ
なので、
∠ＰＡＦ＝１００°－４θ
です。

同様に、
∠ＡＦＥ＝４θ
なので、
∠ＰＦＡ＝１２０°－４θ
となります。

また、
∠ＦＰＡ＝５θ
なので、
△ＰＡＦの内角の和＝１８０°
　　　　　　　　　＝∠ＦＰＡ＋∠ＰＡＦ＋∠ＰＦＡ
　　　　　　　　　＝５θ＋１００°－４θ＋１２０°－４θ
　　　　　　　　　＝２２０°－３θ
から、
３θ＝４０°
で、
∠ＦＰＡ＝５θ
　　　　＝５×４０°/３
　　　　＝２００°/３
となります。
　　　　　　　　　

円周角の問題でそれほど難しいものはないようなので、それが試験範囲に含まれている中３生の皆さんは、自信を持って試験問題に取り組んでください。健闘を祈ります。