数式の問題（１６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１４年ＡＩＭＥの３次方程式の問題です。

問題は、
「３次方程式
　
の実数解が ｘ1、ｘ2、ｘ3 （ ｘ1＜ｘ2＜ｘ3）のとき、ｘ2（ｘ1＋ｘ3）の値を求めよ。」
です。

３次の項の係数

を２乗し、２倍し、１を足すと２次の項の係数の符号を逆にした４０２９になるなど、因数分解ができそうな雰囲気です。

そこで、与えられた３次方程式の左辺を変形してみると、

になり、上手く因数分解できました。

こうなれば、３次方程式のすべての解を求めてしまいましょう。

下から２行目の２番目の（　　）内の２次式を

として、これを解の公式で解くと、

です。

このとき、 ｘ1＜ｘ2＜ｘ3 から、３次方程式の３つの解は、

になります。

したがって、

で、これが答えです。


解と係数の関係を利用しても解けますが、与えられた３次方程式を解いてしまうのが手間がないようです。