こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、平成３１年度筑波大附属駒場中入試問題を取り上げます。
問題は、
「０から２０４８までの数がひとつずつ書かれた、２０４９本の看板があります。
これらの看板［０］、［１］、［２］、・・・、［２０４８］を、この順で、東西にまっすぐのびる長さ１ｋｍの道路に、１本ずつ立てる工事を行います。
まず、西の端に［０］、東の端に［１］の看板を立てます。
続いて、次のように工事１、工事２、工事３、・・・、工事１１を行います。
同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、西から順に新しい看板を立てる工事を続け、工事１１で［２０４８］の看板まで立てました。
このとき、［０］の看板と［２］の看板の間の距離は１/２ｋｍ、［０］の看板と［３］の看板の間の距離は１/４ｋｍです。
（１） ［０］の看板と［３１］の看板の間の距離は何ｋｍですか。
（２） ［３１］の看板から東西どちらに何ｋｍ進めば、［２０１９］の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。
（３） この道路を［０］の看板から東へ進みながら、看板の個数を数えていきます。
ちょうど２０１９個目の看板に書かれた数は何ですか。ただし、［０］の看板を１個目と数えます。」
です。
（１）に取り掛かる前に、看板が立てられる様子を調べておきましょう。
まず、工事１で立てる看板の本数は１本で、それによって道路は２区間に分割されるので、工事２で立てる看板は２本になり、それによって道路は４区間に分割されるので、工事３で立てる看板は４本になります。
これを続けていくと、工事４では８本の看板、工事５では１６本の看板、・・・というように、工事Ｎでは２をＮ－１回掛け合わせた本数の看板が立てられることになります。
さらに、［１］の看板の西隣には、工事１、２、３、・・・、１１が終わった時点で、それぞれ［２］、［４］、［８］、［１６］、［３２］、［６４］、［１２８］、［２５６］、［５１２］、［１０２４］、［２０４８］の看板が立ち、また、［０］の東隣には、工事１、２、、４、・・・、１１が終わった時点で、それぞれ［２］、［３］、［５］、［９］、［１７］、［３３］、［６５］、［１２９］、［２５７］、［５１３］、［１０２５］の看板が立ちます。
それでは、ここから［３１］の看板が何番目の工事で立てられるかを調べていきましょう。
初めに２本の看板（［０］と［１］）が立っていて、工事１から工事５までで立てる看板の本数が １＋２＋４＋８＋１６＝３１本なので、工事５が終わった時点で３３本の看板が立っていることになり、［３１］の看板は工事５で立てられることになります。
工事５が終わった時点で、［１］の看板から西へ向かって、［３２］、［１６］（工事４で立てた看板）、［３１］の看板が順に並ぶので、［３１］の看板は［１］の看板から４個目（［１］が１個目）で、すなわち、［０］の看板から３０（＝３３－４＋１）個目（［０］が１個目）になります。
工事５が終わった時点での隣り合う看板の距離は １/３２ｋｍなので、［０］と［３１］の看板の間の距離は （３０－１）/３２＝ ２９/３２ｋｍ で、これが（１）の答えです。
次に（２）です。
（１）で［０］から［３１］の看板の距離を求めたので、ここでは［０］と［２０１９］の看板の距離を計算しましょう。
工事１０が終わった時点で立っている看板の本数は ２＋１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２＝１０２５本、工事１１が終わった時点で立っている看板の本数は２０４９本なので、［２０１９］の看板は工事１１で立てられることになります。
工事１１で１番目に立てられる看板は［１０２５］なので、［２０１９］の看板は、工事１１で９９５（＝２０１９－１０２５＋１）番目に立てられます。
このとき［０］から［２０１９］の看板の間には、工事１０以前に立てられた看板が９９５本あるので、工事１１が終わった時点で、［０］から［２０１９］の看板の間には１９９０（＝９９５＋９９５）本の看板があります。
また、工事１１が終わった時点での隣り合う看板の距離は １/２０４８ｋｍなので、［０］と［２０１９］の看板の間の距離は（１９９０－１）/２０４８＝１９８９/２０４８ｋｍです。
ここで、［０］と［２０１９］の看板の間の距離と、［０］と［３１］の看板の間の距離の差を計算すると、
１９８９/２０４８－２９/３２＝（１９８９－２９×６４）/２０４８＝１３３/２０４８ｋｍ
です。（＋が東になります）
したがって、「方角：東、距離：１３３/２０４８ｋｍ」が（２）の答えです。
最後の（３）です。
［０］の看板から２０１９個目の看板までの距離は （２０１９－１）/２０４８＝２０１８/２０４８＝１００９/１０２４ｋｍで、これは工事１０が終わった時点での［０］の看板から１０１０個目の看板までの距離になります。
工事１０が終わった時点での１０１０個目の看板は、工事１０で立てられる５０５（＝１０１０÷２）番目の看板で、工事１０で１番目に立てられる看板は［５１３］なので、５０５番目に立てられる看板にかかれた数は １０１７（＝５１３＋５０５－１）になります。
したがって、２０１９個目の看板にかかれた数は １０１７ で、これが（３）の答えです。
気をつけて勘定すれば簡単な問題です。
今回は、平成３１年度筑波大附属駒場中入試問題を取り上げます。
問題は、
「０から２０４８までの数がひとつずつ書かれた、２０４９本の看板があります。
これらの看板［０］、［１］、［２］、・・・、［２０４８］を、この順で、東西にまっすぐのびる長さ１ｋｍの道路に、１本ずつ立てる工事を行います。
まず、西の端に［０］、東の端に［１］の看板を立てます。
続いて、次のように工事１、工事２、工事３、・・・、工事１１を行います。
同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、西から順に新しい看板を立てる工事を続け、工事１１で［２０４８］の看板まで立てました。
このとき、［０］の看板と［２］の看板の間の距離は１/２ｋｍ、［０］の看板と［３］の看板の間の距離は１/４ｋｍです。
（１） ［０］の看板と［３１］の看板の間の距離は何ｋｍですか。
（２） ［３１］の看板から東西どちらに何ｋｍ進めば、［２０１９］の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。
（３） この道路を［０］の看板から東へ進みながら、看板の個数を数えていきます。
ちょうど２０１９個目の看板に書かれた数は何ですか。ただし、［０］の看板を１個目と数えます。」
です。
（１）に取り掛かる前に、看板が立てられる様子を調べておきましょう。
まず、工事１で立てる看板の本数は１本で、それによって道路は２区間に分割されるので、工事２で立てる看板は２本になり、それによって道路は４区間に分割されるので、工事３で立てる看板は４本になります。
これを続けていくと、工事４では８本の看板、工事５では１６本の看板、・・・というように、工事Ｎでは２をＮ－１回掛け合わせた本数の看板が立てられることになります。
さらに、［１］の看板の西隣には、工事１、２、３、・・・、１１が終わった時点で、それぞれ［２］、［４］、［８］、［１６］、［３２］、［６４］、［１２８］、［２５６］、［５１２］、［１０２４］、［２０４８］の看板が立ち、また、［０］の東隣には、工事１、２、、４、・・・、１１が終わった時点で、それぞれ［２］、［３］、［５］、［９］、［１７］、［３３］、［６５］、［１２９］、［２５７］、［５１３］、［１０２５］の看板が立ちます。
それでは、ここから［３１］の看板が何番目の工事で立てられるかを調べていきましょう。
初めに２本の看板（［０］と［１］）が立っていて、工事１から工事５までで立てる看板の本数が １＋２＋４＋８＋１６＝３１本なので、工事５が終わった時点で３３本の看板が立っていることになり、［３１］の看板は工事５で立てられることになります。
工事５が終わった時点で、［１］の看板から西へ向かって、［３２］、［１６］（工事４で立てた看板）、［３１］の看板が順に並ぶので、［３１］の看板は［１］の看板から４個目（［１］が１個目）で、すなわち、［０］の看板から３０（＝３３－４＋１）個目（［０］が１個目）になります。
工事５が終わった時点での隣り合う看板の距離は １/３２ｋｍなので、［０］と［３１］の看板の間の距離は （３０－１）/３２＝ ２９/３２ｋｍ で、これが（１）の答えです。
次に（２）です。
（１）で［０］から［３１］の看板の距離を求めたので、ここでは［０］と［２０１９］の看板の距離を計算しましょう。
工事１０が終わった時点で立っている看板の本数は ２＋１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２＝１０２５本、工事１１が終わった時点で立っている看板の本数は２０４９本なので、［２０１９］の看板は工事１１で立てられることになります。
工事１１で１番目に立てられる看板は［１０２５］なので、［２０１９］の看板は、工事１１で９９５（＝２０１９－１０２５＋１）番目に立てられます。
このとき［０］から［２０１９］の看板の間には、工事１０以前に立てられた看板が９９５本あるので、工事１１が終わった時点で、［０］から［２０１９］の看板の間には１９９０（＝９９５＋９９５）本の看板があります。
また、工事１１が終わった時点での隣り合う看板の距離は １/２０４８ｋｍなので、［０］と［２０１９］の看板の間の距離は（１９９０－１）/２０４８＝１９８９/２０４８ｋｍです。
ここで、［０］と［２０１９］の看板の間の距離と、［０］と［３１］の看板の間の距離の差を計算すると、
１９８９/２０４８－２９/３２＝（１９８９－２９×６４）/２０４８＝１３３/２０４８ｋｍ
です。（＋が東になります）
したがって、「方角：東、距離：１３３/２０４８ｋｍ」が（２）の答えです。
最後の（３）です。
［０］の看板から２０１９個目の看板までの距離は （２０１９－１）/２０４８＝２０１８/２０４８＝１００９/１０２４ｋｍで、これは工事１０が終わった時点での［０］の看板から１０１０個目の看板までの距離になります。
工事１０が終わった時点での１０１０個目の看板は、工事１０で立てられる５０５（＝１０１０÷２）番目の看板で、工事１０で１番目に立てられる看板は［５１３］なので、５０５番目に立てられる看板にかかれた数は １０１７（＝５１３＋５０５－１）になります。
したがって、２０１９個目の看板にかかれた数は １０１７ で、これが（３）の答えです。
気をつけて勘定すれば簡単な問題です。
